/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 9515620

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli a ⁄= 0 i b ⁄= 0 , to 4 4 a6 b6 a + b ≤ b2 + a2 .

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

6 6 a 4 + b4 ≤ a--+ b-- / ⋅a2b2 b2 a2 a 6b2 + a 2b 6 ≤ a8 + b8 8 6 2 8 2 6 0 ≤ a − a b + b − a b 0 ≤ a6(a2 − b2)+ b 6(b2 − a 2) 0 ≤ a6(a2 − b2)− b 6(a2 − b 2) 6 6 2 2 0 ≤ (a − b )(a − b ).

Sposób I

Nierówność jest oczywiście spełniona, gdy |a| = |b| . Jeżeli |a| > |b| , to oba wyrażenia po prawej stronie są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni. Jeżeli w końcu |a| < |b| , to oba wyrażenia po prawej stronie nierówności są ujemne i ich iloczyn też jest dodatni.

Sposób II

Zauważmy, że

6 6 2 2 ( 2 3 2 3) 2 2 (a − b )(a − b ) = (a ) − (b ) (a − b ) 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 = (a − b )(a + a b + b )(a − b ) = (a − b ) (a + a b + b ).

Oczywiście oba otrzymane wyżej wyrażenia są nieujemne, więc

(a2 − b2)2(a4 + a 2b 2 + b4) ≥ 0 .
Wersja PDF