/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij...

Zadanie nr 9951160

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że jeśli

  • x,y są liczbami rzeczywistymi, to x 2 + y 2 ≥ 2xy .
  • x,y,z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 1 , to x2 + y2 + z2 ≥ 1 3 .

Rozwiązanie

  • Na mocy wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy.
    2 2 2 x + y − 2xy = (x − y ) ≥ 0.

    Zatem x2 + y2 ≥ 2xy .

  •  

    Sposób I

    Na mocy nierówności z poprzedniego podpunktu mamy

    x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2xy − 2xz − 2yz = = 1 − (2xy + 2xz + 2yz) ≥ 1 − (x 2 + y 2 + x 2 + z2 + y2 + z2) 2 2 2 3(x + y + z ) ≥ 1 2 2 2 1 x + y + z ≥ 3-.

    Sposób II

    Na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową

    ∘ ------------- x2-+-y2-+-z2 x+--y+--z- 3 ≥ 3 ,

    mamy

    ∘ ------------- x-2 +-y-2 +-z2 1- 3 ≥ 3 2 2 2 x--+-y--+-z- ≥ 1- 3 9 2 2 2 1- x + y + z ≥ 3 .
Wersja PDF