Zadanie nr 4012810
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich i
prawdziwa jest nierówność
![√ -- √ -- a+----b- b-+---b- a+ √a--≥ b + √a--.](https://img.zadania.info/zad/4012810/HzadT2x.png)
Rozwiązanie
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny – korzystamy przy tym z tego, że liczby i
są dodatnie.
![√ -- √ -- a-+---b- b+----b- a + √a--≥ b+ √a-- √ -- √ -- √ -- √ -- (a + b)(b + a) ≥ (b + b)(a + a) √ -- √ -- √ --- √ -- √ -- √ --- ab√ +-b b√ +-a a + ab ≥ ab+ b a+ a b+ ab b b − a b + a√a--− b√a--≥ 0 √ -- √ -- b(b − a) − a(b − a) ≥ 0 √ -- √ -- ( b − a)(b − a) ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/4012810/HzadR2x.png)
Sposób I
Wystarczy teraz zauważyć, że albo i wtedy wyrażenia w obu nawiasach są nieujemne, albo
i wtedy wyrażenia w obu nawiasach są ujemne.
Sposób II
Liczby i
są dodatnie, więc
![√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- b − a = ( b)2 − ( a)2 = ( b− a)( b+ a).](https://img.zadania.info/zad/4012810/HzadR7x.png)
Mamy zatem
![√ -- √ -- √ -- ( b − √a-)(b − a) = ( b− √a-)2( b+ √a-) ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/4012810/HzadR8x.png)