Zadanie nr 4012810

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich i prawdziwa jest nierówność

√ -- √ -- a+----b- b-+---b- a+ √a--≥ b + √a--.

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny – korzystamy przy tym z tego, że liczby i są dodatnie.

√ -- √ -- a-+---b- b+----b- a + √a--≥ b+ √a-- √ -- √ -- √ -- √ -- (a + b)(b + a) ≥ (b + b)(a + a) √ -- √ -- √ --- √ -- √ -- √ --- ab√ +-b b√ +-a a + ab ≥ ab+ b a+ a b+ ab b b − a b + a√a--− b√a--≥ 0 √ -- √ -- b(b − a) − a(b − a) ≥ 0 √ -- √ -- ( b − a)(b − a) ≥ 0.

Sposób I

Wystarczy teraz zauważyć, że albo b ≥ a i wtedy wyrażenia w obu nawiasach są nieujemne, albo a > b i wtedy wyrażenia w obu nawiasach są ujemne.

Sposób II

Liczby i są dodatnie, więc

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- b − a = ( b)2 − ( a)2 = ( b− a)( b+ a).

Mamy zatem

√ -- √ -- √ -- ( b − √a-)(b − a) = ( b− √a-)2( b+ √a-) ≥ 0.