/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Z pierwiastkami

Zadanie nr 7689297

Wykaż, że dla dowolnych liczb ujemnych a,b spełniona jest nierówność

∘ -3----3- 3 a--+-b- ≤ a+--b. 2 2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

∘ --3----3 3 a-+--b- ≤ a-+-b- /()3 2 2 a3 + b3 (a+ b)3 ------- ≤ -------- / ⋅8 2 2 8 2 3 4(a + b)(a − ab + b ) ≤ (a + b) / : (a+ b) 2 2 2 2 2 4(a − ab + b ) ≥ (a + b) = a + 2ab + b 3a2 − 6ab + 3b 2 ≥ 0 2 3(a − b) ≥ 0.

Po drodze skorzystaliśmy z tego, że funkcja f(x) = x 3 jest rosnąca oraz z tego, że a+ b < 0 . Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być spełniona.

Wersja PDF