/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Z pierwiastkami

Zadanie nr 8029682

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

∘ --- ∘ --- √ -- √ -- a2- b2- a + b ≤ b + a .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

-- √ -- ∘ -2- ∘ --2 √ a + b ≤ a--+ b-- / ()2 b a √ --- a2 √ --- b2 a + 2 ab + b ≤ --+ 2 ab + --- 3 3 b a a--+-b- a + b ≤ ab / ⋅ab a2b + ab2 ≤ a3 + b3 ab(a + b) ≤ (a + b)(a2 − ab + b2) / : (a+ b) 2 2 ab ≤ a − ab + b 0 ≤ a2 − 2ab + b2 = (a− b )2.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF