/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Z pierwiastkami

Zadanie nr 8630526

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli a,b > 0 to √ --- --2- ab ≥ 1a+1 b .

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny – obie strony są nieujemne, więc możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.

√ --- ab ≥ --2--- = -2ab-- /()2 1a + 1b a + b 2 2 2 ab ≥ --4a-b-- / ⋅ (a-+-b) (a + b)2 ab 2 (a+ b) ≥ 4ab a2 + 2ab+ b2 − 4ab ≥ 0 2 (a− b) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa.

Wersja PDF