/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Z pierwiastkami

Zadanie nr 9721241

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli x,y,z są długościami boków trójkąta to √ 3(x+y +z) ∘ ------------ ----2-----> x 2 + y 2 + z2 .

Rozwiązanie

Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że x ≤ y ≤ z . Korzystając z tego założenia mamy

∘ ------------ ∘ ------------ √ -- x2 + y2 + z2 ≤ z2 + z2 + z2 = z 3

Ponieważ x ,y,z są bokami trójkąta, więc x + y > z . Mamy stąd

-- -- √ 3 (z+ x + y) √ 3 √ -- --------------- > ----⋅(z + z) = z 3 2 2

Mamy zatem

√ 3(z + x + y) √ -- ∘ ------------ ---------------> z 3 ≥ x2 + y2 + z 2. 2
Wersja PDF