/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2012

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom podstawowy 6 czerwca 2012 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Ułamek √5+2- √5−2 jest równy
A) 1 B) − 1 C) √ -- 7 + 4 5 D) 9 + 4√ 5-

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczbami spełniającymi równanie |2x + 3| = 5 są
A) 1 i − 4 B) 1 i 2 C) − 1 i 4 D) − 2 i 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Równanie 2 (x + 5)(x − 3 )(x + 1) = 0 ma
A) dwa rozwiązania: x = − 5,x = 3
B) dwa rozwiązania: x = − 3,x = 5
C) cztery rozwiązania: x = − 5,x = − 1,x = 1,x = 3
D) cztery rozwiązania: x = − 3,x = − 1,x = 1,x = 5

Zadanie 4
(1 pkt)

Marża równa 1,5% kwoty pożyczonego kapitału była równa 3 000 zł. Wynika stąd, że pożyczono
A) 45 zł B) 2 000 zł C) 200 000 zł D) 450 000 zł

Zadanie 5
(1 pkt)

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji 2 y = x + 2x − 3 . Wskaż ten rysunek.

PIC

Zadanie 6
(1 pkt)

Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem 2 y = x − 4x + 4 jest punkt o współrzędnych
A) (0,2) B) (0,− 2) C) (− 2,0) D) (2,0)

Zadanie 7
(1 pkt)

Jeden kąt trójkąta ma miarę 54∘ . Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy większy od drugiego. Miary pozostałych kątów są równe
A) ∘ 21 i ∘ 1 05 B) ∘ 11 i ∘ 66 C) 18∘ i 10 8∘ D) 16 ∘ i 9 6∘

Zadanie 8
(1 pkt)

Krótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30 ∘ . Dłuższy bok prostokąta ma długość
A) √ -- 2 3 B) √ -- 4 3 C) √ -- 6 3 D) 12

Zadanie 9
(1 pkt)

Cięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka o 3 cm. Promień tego okręgu ma długość
A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 8 cm

Zadanie 10
(1 pkt)

Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę

PIC

A) 1 50∘ B) 120∘ C) 115 ∘ D) 85∘

Zadanie 11
(1 pkt)

Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD

PIC

A) △ABF B) △CAB C) △IHD D) △ABD

Zadanie 12
(1 pkt)

Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:

PIC

A) (x − 2)2 + (y − 1)2 = 9
B) (x− 2)2 + (y− 1)2 = 3
C) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9
D) 2 2 (x + 2) + (y + 1) = 3

Zadanie 13
(1 pkt)

Wyrażenie 3x+-1− 2x−1- x−2 x+ 3 jest równe
A) 2 (xx−+21)5(xx++13) B) (x−x+2)(2x+3) C) -----x---- (x−2)(x+3) D) x+2- − 5

Zadanie 14
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem √ ------- an = 2n+ 4 dla n ≥ 1 . Wówczas
A) √ -- a8 = 2 5 B) a8 = 8 C) √ -- a8 = 5 2 D) √ --- a8 = 12

Zadanie 15
(1 pkt)

Ciąg √ -- (2 2,4,a) jest geometryczny. Wówczas
A) √ -- a = 8 2 B) √ -- a = 4 2 C) √ -- a = 8 − 2 2 D) √ -- a = 8 + 2 2

Zadanie 16
(1 pkt)

Kąt α jest ostry i tg α = 1 . Wówczas
A) α < 30∘ B) α = 30∘ C) α = 4 5∘ D) α > 45∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Wiadomo, że dziedziną funkcji f określonej wzorem x−7-- f(x) = 2x+a jest zbiór (− ∞ ,2) ∪ (2,+ ∞ ) . Wówczas
A) a = 2 B) a = − 2 C) a = 4 D) a = −4

Zadanie 18
(1 pkt)

Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y = ax + b takiej, że a > 0 i b < 0 ?

PIC

Zadanie 19
(1 pkt)

Punkt S = (2,7) jest środkiem odcinka AB , w którym A = (− 1,3) . Punkt B ma współrzędne:
A) B = (5,11) B) ( ) B = 1,2 2 C) ( ) B = − 32,− 5 D) B = (3,11 )

Zadanie 20
(1 pkt)

W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: 6, 3, 1, 2, 5, 5. Mediana tych wyników jest równa:
A) 3 B) 3,5 C) 4 D) 5

Zadanie 21
(1 pkt)

Równość √ --2 2 √ -- (a + 2 2) = a + 2 8 2+ 8 zachodzi dla
A) a = 14 B) √ -- a = 7 2 C) a = 7 D) √ -- a = 2 2

Zadanie 22
(1 pkt)

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 i 6 obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa:
A) 96π B) 48π C) 32 π D) 8π

Zadanie 23
(1 pkt)

Jeżeli A i B są zdarzeniami losowymi, B′ jest zdarzeniem przeciwnym do B , P (A) = 0 ,3 , ′ P (B ) = 0,4 oraz A ∩ B = ∅ , to P(A ∪ B ) jest równe
A) 0,12 B) 0,18 C) 0,6 D) 0,9

Zadanie 24
(1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku a . Jeżeli r oznacza promień podstawy walca, h oznacza wysokość walca, to
A) r + h = a B) a h− r = 2 C) r− h = a2 D) r2 + h2 = a2

Zadania otwarte

Zadanie 25
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność x 2 − 3x − 1 0 < 0 .

Zadanie 26
(2 pkt)

Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.

Zadanie 27
(2 pkt)

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 28
(2 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli α jest kątem ostrym, to sin4 α+ cos2α = sin 2α + cos4 α .

Zadanie 29
(2 pkt)

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przez 3 jest równa 2.

Zadanie 30
(2 pkt)

Suma Sn = a1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + an początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn = n 2 − 2n dla n ≥ 1 . Wyznacz wzór na n -ty wyraz tego ciągu.

Zadanie 31
(2 pkt)

Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45∘ , a jego pole jest równe √ -- 50 2 . Oblicz wysokość tego rombu.

Zadanie 32
(4 pkt)

Punkty A = (2,11 ),B = (8,23 ),C = (6,1 4) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D . Oblicz współrzędne punktu D .

Zadanie 33
(4 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta.

Zadanie 34
(4 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF o podstawach ABC i DEF i krawędziach bocznych AD ,BE i CF (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy AB jest równa 8, a pole trójkąta ABF jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

PIC

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania