/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2012

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
poziom rozszerzony 6 czerwca 2012 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |x − 2|+ |x + 1 | ≥ 3x − 3 .

Zadanie 2
(4 pkt)

Wielomian W (x) = x4 + ax3 + bx2 − 24x + 9 jest kwadratem wielomianu P (x) = x2 + cx + d . Oblicz a oraz b .

Zadanie 3
(5 pkt)

Kąt α jest taki, że cosα + sin α = 43 . Oblicz wartość wyrażenia |cos α − sinα | .

Zadanie 4
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie 2x2 + (3− 2m )x− m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki x1,x 2 takie, że |x1 − x2| = 3 .

Zadanie 5
(5 pkt)

W ciągu arytmetycznym (an) , dla n ≥ 1 , dane są a 1 = − 2 oraz różnica r = 3 . Oblicz największe n takie, że a + a + ⋅⋅⋅+ an < 2012 1 2 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a ,b ,c i d prawdziwa jest nierówność

∘ -2----2 ∘ -2----2 ac + bd ≤ a + b ⋅ c + d .

Zadanie 7
(4 pkt)

Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A = (0,2) i B = (2,0) oraz jest styczny do prostej l w punkcie C = (1,a) , gdzie a > 1 . Wyznacz równanie prostej l .

Zadanie 8
(5 pkt)

W czworokącie ABCD dane są długości boków: |AB | = 24,|CD | = 15,|AD | = 7 . Ponadto kąty DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Zadanie 9
(3 pkt)

Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.

Zadanie 10
(4 pkt)

Na płaszczyźnie dane są punkty A = (3,− 2), B = (11,4) . Na prostej o równaniu y = 8x + 10 znajdź punkt P , dla którego suma |AP |2 + |BP |2 jest najmniejsza.

Zadanie 11
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AB | = 30 , |BC | = |AC | = 39 . Spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy, a każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 12
(3 pkt)

Zdarzenia losowe A ,B są zawarte w Ω oraz ′ P(A ∩ B ) = 0,1 i ′ P (A ∩ B) = 0 ,2 . Wykaż, że P (A ∩ B ) ≤ 0,7 ( ′ A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A , ′ B oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B ).

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania