/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2012/Matura próbna

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 17 marca 2012 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Która z liczb jest większa 992011+1 992012+1 , czy 992012+ 1 992013+-1 ?

Zadanie 2
(3 pkt)

Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego, w którym |AC | = |BC | . Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne takie, że |AD | = |CD | i |AB | = |BD | . Wykaż, że |∡ADC | = 5 |∡ACD | .

Zadanie 3
(4 pkt)

Ciąg (an) dla n ≥ 1 jest ciągiem arytmetycznym oraz Sn = a1 + a2 + ⋅ ⋅⋅+ an dla n ≥ 1 . Wykaż, że jeżeli spełniony jest warunek Sn+1 (n+-1)2- Sn = n2 dla n ≥ 1 , to spełniony jest również warunek an+a-1= 22nn+−11- n .

Zadanie 4
(4 pkt)

Rozwiąż równanie cosx − tg2 xco sx = 1 w przedziale ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 5
(4 pkt)

Wykaż, że równanie 6 5 4 3 2 x − x + x − x + x − x + 1 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 6
(5 pkt)

Dla jakich wartości k ∈ R równanie 2 (k− 5)x − 2(k − 1)x + k + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie?

Zadanie 7
(5 pkt)

Środkowa AD trójkąta równoramiennego ABC ma długość √ 21- , a jego podstawa AB tworzy z ramieniem kąt o mierze ∘ 3 0 . Oblicz pole trójkąta ABC .

Zadanie 8
(5 pkt)

W pewnym budynku biurowym przydzielono pracownikom pięciocyfrowe kody bezpieczeństwa, przy czym każdy kod musiał spełniać następujące dwa warunki:
(1) kod musi zawierać co najmniej 3 różne cyfry
(2) kod musi zawierać co najmniej jedną cyfrę parzystą i co najmniej jedną cyfrę nieparzystą.
Ile jest kodów spełniających powyższe warunki?

Zadanie 9
(6 pkt)

Napisz równanie okręgu, który jest styczny do prostej y = x w punkcie A = (− 2,− 2) , oraz który odcina z prostej y = −x − 6 cięciwę o długości 8.

Zadanie 10
(4 pkt)

A i B są takim zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , że 1 P (A ∖ B) = P (B ∖A ) = 7 i P (A ′ ∪ B′) = 1 . Oblicz P(A ′ ∩ B′) .

Zadanie 11
(6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD . Pole trójkąta ASC jest równe 120, a cosinus kąta ASB jest równy 114649 . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania