/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 1345758

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym  ∘ |∡ABC | = 9 0 oraz |∡CAB | = 60∘ . Punkty K i L leżą na bokach – odpowiednio – AB i BC tak, że |BK | = |BL| = 1 (zobacz rysunek). Odcinek KL przecina wysokość BD tego trójkąta w punkcie N , a ponadto |AD | = 2 .


PIC


Wykaż, że  √ -- |ND | = 3+ 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

BD √ -- ---- = tg 60∘ ⇒ BD = 2 3 AD

Sposób I

Popatrzmy na trójkąt prostokątny KBL . Jest to połówka kwadratu o boku BL = BK = 1 , więc jego pole jest równe

 1- PKBL = 2.

Może też obliczyć to pole w inny sposób – jako sumę pól trójkątów KBN i LBN . Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole z sinusem, więc zauważmy najpierw, że

∡ABD = 90∘ − BAD = 90 ∘ − 60 ∘ = 30∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡LBN = 90 − ∡KBN = 90 − 30 = 6 0 .

Mamy zatem

1 1 1 --= PKBL = PKBN + PLBN = -KB ⋅BN sin∡KBN + --LB ⋅BN sin∡LBN 2 √ -2 √ -- 2 1- 1- 1- 1- --3- 1+----3- 2 = 2 ⋅BN ⋅2 + 2 ⋅ BN ⋅ 2 = 4 ⋅BN .

Stąd

 1 4 2 2(√ 3− 1) √ -- BN = --⋅----√---= √-------= -----------= 3 − 1 2 1 + 3 3+ 1 -- 3 − 1 -- ND = BD − BN = 2√ 3− (√ 3− 1) = √ 3 + 1.

Sposób II

Tak jak poprzednio patrzymy na trójkąt KBL – tym razem jednak spróbujemy obliczyć długość odcinka BN korzystając z twierdzenia sinusów. Zauważmy najpierw, że

∡LBN = ∡CBD = 90∘ − ∡BCD = ∡CAB = 60∘ ∡BNL = 180∘ − ∡LBN − ∡BLN = 1 80∘ − 60∘ − 45∘ = 75 ∘

Obliczymy jeszcze sinus  ∘ 75 . Korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

sin 75∘ = sin (45∘ + 30∘) = sin 45∘co s30∘ + sin30 ∘cos 45∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- --2- --3- 1- --2- --6-+---2- = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 4

Piszemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie LBN .

 BL BN ---------- = ---------- sin ∡BLN sin ∡BLN ---1--- = -BN----. sin 75∘ sin 45∘

Stąd

 √- √ -- sin-45∘ ---22-- --1--- ---2---- 2(--3-−-1-) √ -- BN = sin 75∘ = √6+-√2-= √-3+-1 = √ -- = 3− 1 = 3 − 1 4 -- 2- 3−--1 ND = BD − BN = 2√ 3 − (√ 3 − 1) = √ 3 + 1.

Sposób III

Tym razem ponownie skorzystamy z twierdzenia sinusów, ale poradzimy sobie bez obliczania sin 75∘ . Tak jak w II sposobie zauważamy, że

∡ABD = 90∘ − BAD = 90 ∘ − 60 ∘ = 30∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡LBN = 90 − ∡KBN = 90 − 30 = 6 0 .

Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach KBN i LBN .

-KN----= -BN----= --NL--- sin 30∘ sin 45∘ sin6 0∘ KN sin 30∘ 1 1 ----= -----∘-= √2- = √--- NL sin 60 -23 3.

Wiemy zatem w jakim stosunku punkt N dzieli odcinek KL oraz znamy długość tego odcinka:  √ -- √ -- KL = BL 2 = 2 . Możemy więc obliczyć długość odcinka KN .

 KN- KN = KN-- ⋅KL = ---KN----- ⋅KL = --NL----⋅KL = KL KN + NL KNNL- + 1 -1- √ -- --√-3-- √ -- ----2--- = √1- ⋅ 2 = √ --. 3 + 1 1 + 3

Teraz raz jeszcze piszemy twierdzenie sinusów w trójkącie KBN .

 KN BN ------∘ = ------∘ sin30 sin 45 √ -- √ - sin 45∘ 2 -22 BN = KN ⋅------∘ = ----√--⋅ -1- sin 30 √ -1+ 3 2 2 2( 3 − 1) √ -- BN = √-------= -----------= 3− 1. 3 + 1 3− 1

Stąd

 √ -- √ -- √ -- ND = BD − BN = 2 3− ( 3− 1 ) = 3+ 1.
Wersja PDF
spinner