/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 1345758

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym ∘ |∡ABC | = 9 0 oraz |∡CAB | = 60∘ . Punkty K i L leżą na bokach – odpowiednio – AB i BC tak, że |BK | = |BL| = 1 (zobacz rysunek). Odcinek KL przecina wysokość BD tego trójkąta w punkcie N , a ponadto |AD | = 2 .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że √ -- |ND | = 3+ 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

√ -- BD-- = tg 60∘ ⇒ BD = 2 3 AD

Sposób I

Popatrzmy na trójkąt prostokątny KBL . Jest to połówka kwadratu o boku BL = BK = 1 , więc jego pole jest równe

P = 1. KBL 2

Możemy też obliczyć to pole w inny sposób – jako sumę pól trójkątów KBN i LBN . Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole z sinusem, więc zauważmy najpierw, że

∘ ∘ ∘ ∘ ∡ABD = 90 − BAD = 90 − 60 = 30 ∡LBN = 90∘ − ∡KBN = 90∘ − 30∘ = 6 0∘.

Mamy zatem

1 1 1 --= PKBL = PKBN + PLBN = -KB ⋅BN sin∡KBN + --LB ⋅BN sin∡LBN 2 √ -2 √ -- 2 1- 1- 1- 1- --3- 1+----3- 2 = 2 ⋅BN ⋅2 + 2 ⋅ BN ⋅ 2 = 4 ⋅BN .

Stąd

√ -- √ -- BN = 1-⋅---4√---= √--2----= 2(--3−--1)-= 3 − 1 2 1 + 3 3+ 1 3 − 1 ND = BD − BN = 2√ 3− (√ 3− 1) = √ 3-+ 1.

Sposób II

Tak jak poprzednio patrzymy na trójkąt KBL – tym razem jednak spróbujemy obliczyć długość odcinka BN korzystając z twierdzenia sinusów. Zauważmy najpierw, że

∡LBN = ∡CBD = 90∘ − ∡BCD = ∡CAB = 60∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡BNL = 180 − ∡LBN − ∡BLN = 1 80 − 60 − 45 = 75

Obliczymy jeszcze sinus 75∘ . Korzystamy ze wzoru na sinus sumy.

sin 75∘ = sin (45∘ + 30∘) = sin 45∘co s30∘ + sin30 ∘cos 45∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- --2- --3- 1- --2- --6-+---2- = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 4

Piszemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie LBN .

----BL---- = ---BN----- sin ∡BNL sin ∡BLN ---1--- -BN---- sin 75∘ = sin 45∘ .

Stąd

√- sin 45∘ -2- 1 2 2(√ 3-− 1 ) √ -- BN = ------- = -√-2-√- = √-----= √-------= -----------= 3 − 1 sin 75∘ -6+--2- --3+-1 3+ 1 3− 1 4√ -- √ 2- √ -- ND = BD − BN = 2 3 − ( 3 − 1) = 3 + 1.

Sposób III

Tym razem ponownie skorzystamy z twierdzenia sinusów, ale poradzimy sobie bez obliczania ∘ sin 75 . Tak jak w II sposobie zauważamy, że

∘ ∘ ∘ ∘ ∡ABD = 90 − BAD = 90 − 60 = 30 ∡LBN = 90∘ − ∡KBN = 90∘ − 30∘ = 6 0∘.

Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach KBN i LBN .

-KN---- -BN---- --NL--- sin 30∘ = sin 45∘ = sin6 0∘ ∘ 1 KN--= sin-30--= √2- = √1-- NL sin 60∘ --3 3. 2

Wiemy zatem w jakim stosunku punkt N dzieli odcinek KL oraz znamy długość tego odcinka: √ -- √ -- KL = BL 2 = 2 . Możemy więc obliczyć długość odcinka KN .

KN KN-- ---KN----- --NL---- KN = KL ⋅KL = KN + NL ⋅KL = KN- + 1 ⋅KL = √ -- NL √13 √ -- 2 = -1----- ⋅ 2 = ----√---. √-3 + 1 1 + 3

Teraz raz jeszcze piszemy twierdzenie sinusów w trójkącie KBN .

-KN---- --BN--- sin30 ∘ = sin 45∘ √ -- √ 2 sin-45∘ ----2--- -2- BN = KN ⋅sin 30∘ = 1+ √ 3 ⋅ 1 √ -- 2 ---2---- 2(--3-−-1)- √ -- BN = √ -- = 3− 1 = 3− 1. 3 + 1

Stąd

√ -- √ -- √ -- ND = BD − BN = 2 3− ( 3− 1 ) = 3+ 1.
Wersja PDF