Zadanie nr 1345758
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym
oraz
. Punkty
i
leżą na bokach – odpowiednio –
i
tak, że
(zobacz rysunek). Odcinek
przecina wysokość
tego trójkąta w punkcie
, a ponadto
.
Wykaż, że .
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że
![√ -- BD-- = tg 60∘ ⇒ BD = 2 3 AD](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR0x.png)
Sposób I
Popatrzmy na trójkąt prostokątny . Jest to połówka kwadratu o boku
, więc jego pole jest równe
![P = 1. KBL 2](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR3x.png)
Możemy też obliczyć to pole w inny sposób – jako sumę pól trójkątów i
. Będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole z sinusem, więc zauważmy najpierw, że
![∘ ∘ ∘ ∘ ∡ABD = 90 − BAD = 90 − 60 = 30 ∡LBN = 90∘ − ∡KBN = 90∘ − 30∘ = 6 0∘.](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR6x.png)
Mamy zatem
![1 1 1 --= PKBL = PKBN + PLBN = -KB ⋅BN sin∡KBN + --LB ⋅BN sin∡LBN 2 √ -2 √ -- 2 1- 1- 1- 1- --3- 1+----3- 2 = 2 ⋅BN ⋅2 + 2 ⋅ BN ⋅ 2 = 4 ⋅BN .](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR7x.png)
Stąd
![√ -- √ -- BN = 1-⋅---4√---= √--2----= 2(--3−--1)-= 3 − 1 2 1 + 3 3+ 1 3 − 1 ND = BD − BN = 2√ 3− (√ 3− 1) = √ 3-+ 1.](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR8x.png)
Sposób II
Tak jak poprzednio patrzymy na trójkąt – tym razem jednak spróbujemy obliczyć długość odcinka
korzystając z twierdzenia sinusów. Zauważmy najpierw, że
![∡LBN = ∡CBD = 90∘ − ∡BCD = ∡CAB = 60∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡BNL = 180 − ∡LBN − ∡BLN = 1 80 − 60 − 45 = 75](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR11x.png)
Obliczymy jeszcze sinus . Korzystamy ze wzoru na sinus sumy.
![sin 75∘ = sin (45∘ + 30∘) = sin 45∘co s30∘ + sin30 ∘cos 45∘ = √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- --2- --3- 1- --2- --6-+---2- = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 = 4](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR13x.png)
Piszemy teraz twierdzenie sinusów w trójkącie .
![----BL---- = ---BN----- sin ∡BNL sin ∡BLN ---1--- -BN---- sin 75∘ = sin 45∘ .](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR15x.png)
Stąd
![√- sin 45∘ -2- 1 2 2(√ 3-− 1 ) √ -- BN = ------- = -√-2-√- = √-----= √-------= -----------= 3 − 1 sin 75∘ -6+--2- --3+-1 3+ 1 3− 1 4√ -- √ 2- √ -- ND = BD − BN = 2 3 − ( 3 − 1) = 3 + 1.](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR16x.png)
Sposób III
Tym razem ponownie skorzystamy z twierdzenia sinusów, ale poradzimy sobie bez obliczania . Tak jak w II sposobie zauważamy, że
![∘ ∘ ∘ ∘ ∡ABD = 90 − BAD = 90 − 60 = 30 ∡LBN = 90∘ − ∡KBN = 90∘ − 30∘ = 6 0∘.](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR18x.png)
Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach i
.
![-KN---- -BN---- --NL--- sin 30∘ = sin 45∘ = sin6 0∘ ∘ 1 KN--= sin-30--= √2- = √1-- NL sin 60∘ --3 3. 2](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR21x.png)
Wiemy zatem w jakim stosunku punkt dzieli odcinek
oraz znamy długość tego odcinka:
. Możemy więc obliczyć długość odcinka
.
![KN KN-- ---KN----- --NL---- KN = KL ⋅KL = KN + NL ⋅KL = KN- + 1 ⋅KL = √ -- NL √13 √ -- 2 = -1----- ⋅ 2 = ----√---. √-3 + 1 1 + 3](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR26x.png)
Teraz raz jeszcze piszemy twierdzenie sinusów w trójkącie .
![-KN---- --BN--- sin30 ∘ = sin 45∘ √ -- √ 2 sin-45∘ ----2--- -2- BN = KN ⋅sin 30∘ = 1+ √ 3 ⋅ 1 √ -- 2 ---2---- 2(--3-−-1)- √ -- BN = √ -- = 3− 1 = 3− 1. 3 + 1](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR28x.png)
Stąd
![√ -- √ -- √ -- ND = BD − BN = 2 3− ( 3− 1 ) = 3+ 1.](https://img.zadania.info/zad/1345758/HzadR29x.png)