Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1796252

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych a zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest równe  2 a .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez ABC wierzchołki danego trójkąta prostokątnego (A – wierzchołek kąta prostego). Ponadto niech K będzie środkiem przeciwprostokątnej.


PIC


Zauważmy, trójkąt MNP jest równoramienny, więc odcinek PA jest jego wysokością. Łatwo obliczyć jej długość:

 √ -- PA = P K + AK = CK + KB = BC = a 2.

Podstawa MN trójkąta MNP ma długość równą przekątnej mniejszego z kwadratów, zatem

 √ -- MN = a 2 .

Pole trójkąta MNP jest więc równe

1- 1- √ -- √ -- 2 2MN ⋅PA = 2 ⋅a 2⋅a 2 = a .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!