Zadanie nr 1848583
Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre i
są takie, że
i
.
Rozwiązanie
Najważniejsze przy rozwiązywaniu tego zadania jest ustalenie dlaczego taki trójkąt miałby nie istnieć?
Podane informacje są dwóch typów. Funkcje trygonometryczne kątów zależą tylko od kątów, a więc od kształtu trójkąta, a nie od jego wielkości. Innymi słowy, miary kątów (czy ich funkcje trygonometryczne) nie mają nic do rzeczy z długościami boków (mają za to z ilorazami tych długości). Zatem informacja, że przeciwprostokątna ma długość 24 jest zupełnie bezużyteczna; jeżeli by te warunki z kątami były ok, to istniałby trójkąt o dowolnej przeciwprostokątnej. A jak nie są, to niezależnie od przeciwprostokątnej, takiego trójkąta nie ma.
Kolejne pytanie, to dlaczego warunki z kątami mają uniemożliwiać istnienie trójkąta? Odpowiedź jest bardzo prosta, ponieważ trójkąt ma być prostokątny, to i
jest jednoznacznie wyznaczony przez
(bo
możemy wyliczyć z jedynki trygonometrycznej). Jeżeli trójkąta ma nie być, to widocznie dla podanych liczb się to nie zgadza.
Sposób I
Dobrze, skoro wiemy co mamy zrobić, to robimy – wyliczymy z
.

Ponieważ jest kątem ostrym, mamy stąd
. Możemy teraz wyliczyć
:

Skoro się nie zgadza, to trójkąta nie ma.
Sposób II
Jeżeli to boki trójkąta mają długości
i
(jak na rysunku). Wtedy z podanego
mamy

To oznacza, że boki trójkąta mają długości . To jednak nie jest możliwe, bo

