Zadanie nr 1848583

Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre i są takie, że cos α = 34 i tg β = 43 .

Rozwiązanie

Najważniejsze przy rozwiązywaniu tego zadania jest ustalenie dlaczego taki trójkąt miałby nie istnieć?

Podane informacje są dwóch typów. Funkcje trygonometryczne kątów zależą tylko od kątów, a więc od kształtu trójkąta, a nie od jego wielkości. Innymi słowy, miary kątów (czy ich funkcje trygonometryczne) nie mają nic do rzeczy z długościami boków (mają za to z ilorazami tych długości). Zatem informacja, że przeciwprostokątna ma długość 24 jest zupełnie bezużyteczna; jeżeli by te warunki z kątami były ok, to istniałby trójkąt o dowolnej przeciwprostokątnej. A jak nie są, to niezależnie od przeciwprostokątnej, takiego trójkąta nie ma.

Kolejne pytanie, to dlaczego warunki z kątami mają uniemożliwiać istnienie trójkąta? Odpowiedź jest bardzo prosta, ponieważ trójkąt ma być prostokątny, to β = 9 0∘ − α i tg β jest jednoznacznie wyznaczony przez cosα (bo sin α możemy wyliczyć z jedynki trygonometrycznej). Jeżeli trójkąta ma nie być, to widocznie dla podanych liczb się to nie zgadza.