Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1848583

Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre α i β są takie, że cos α = 34 i tg β = 43 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Najważniejsze przy rozwiązywaniu tego zadania jest ustalenie dlaczego taki trójkąt miałby nie istnieć?

Podane informacje są dwóch typów. Funkcje trygonometryczne kątów zależą tylko od kątów, a więc od kształtu trójkąta, a nie od jego wielkości. Innymi słowy, miary kątów (czy ich funkcje trygonometryczne) nie mają nic do rzeczy z długościami boków (mają za to z ilorazami tych długości). Zatem informacja, że przeciwprostokątna ma długość 24 jest zupełnie bezużyteczna; jeżeli by te warunki z kątami były ok, to istniałby trójkąt o dowolnej przeciwprostokątnej. A jak nie są, to niezależnie od przeciwprostokątnej, takiego trójkąta nie ma.

Kolejne pytanie, to dlaczego warunki z kątami mają uniemożliwiać istnienie trójkąta? Odpowiedź jest bardzo prosta, ponieważ trójkąt ma być prostokątny, to β = 9 0∘ − α i tg β jest jednoznacznie wyznaczony przez cosα (bo sin α możemy wyliczyć z jedynki trygonometrycznej). Jeżeli trójkąta ma nie być, to widocznie dla podanych liczb się to nie zgadza.

Sposób I

Dobrze, skoro wiemy co mamy zrobić, to robimy – wyliczymy tgβ z co sα .

 2 2 9 7 sin α = 1 − cos α = 1 − --- = ---. 1 6 16

Ponieważ α jest kątem ostrym, mamy stąd  √- sin α = -7- 4 . Możemy teraz wyliczyć tg β :

 ∘ cosα- tg β = tg(90 − α ) = ctg α = sinα = 3 √4- = √-3--⁄= 4-. --7 7 3 4

Skoro się nie zgadza, to trójkąta nie ma.

Sposób II

Jeżeli  4 tg β = 3 to boki trójkąta mają długości 3x i 4x (jak na rysunku). Wtedy z podanego co sα mamy

3-= cos α = 4x- = x- ⇒ x = 9. 4 2 4 6 2

To oznacza, że boki trójkąta mają długości 27 -2 ,18 ,24 . To jednak nie jest możliwe, bo

( ) 2 27- 2 2 2 + 18 ⁄= 24 .

PIC

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!