Zadanie nr 1848583
Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre i
są takie, że
i
.
Rozwiązanie
Najważniejsze przy rozwiązywaniu tego zadania jest ustalenie dlaczego taki trójkąt miałby nie istnieć?
Podane informacje są dwóch typów. Funkcje trygonometryczne kątów zależą tylko od kątów, a więc od kształtu trójkąta, a nie od jego wielkości. Innymi słowy, miary kątów (czy ich funkcje trygonometryczne) nie mają nic do rzeczy z długościami boków (mają za to z ilorazami tych długości). Zatem informacja, że przeciwprostokątna ma długość 24 jest zupełnie bezużyteczna; jeżeli by te warunki z kątami były ok, to istniałby trójkąt o dowolnej przeciwprostokątnej. A jak nie są, to niezależnie od przeciwprostokątnej, takiego trójkąta nie ma.
Kolejne pytanie, to dlaczego warunki z kątami mają uniemożliwiać istnienie trójkąta? Odpowiedź jest bardzo prosta, ponieważ trójkąt ma być prostokątny, to i
jest jednoznacznie wyznaczony przez
(bo
możemy wyliczyć z jedynki trygonometrycznej). Jeżeli trójkąta ma nie być, to widocznie dla podanych liczb się to nie zgadza.
Sposób I
Dobrze, skoro wiemy co mamy zrobić, to robimy – wyliczymy z
.
![2 2 9 7 sin α = 1 − cos α = 1 − --- = ---. 1 6 16](https://img.zadania.info/zad/1848583/HzadR6x.gif)
Ponieważ jest kątem ostrym, mamy stąd
. Możemy teraz wyliczyć
:
![∘ cosα- tg β = tg(90 − α ) = ctg α = sinα = 3 √4- = √-3--⁄= 4-. --7 7 3 4](https://img.zadania.info/zad/1848583/HzadR10x.gif)
Skoro się nie zgadza, to trójkąta nie ma.
Sposób II
Jeżeli to boki trójkąta mają długości
i
(jak na rysunku). Wtedy z podanego
mamy
![3-= cos α = 4x- = x- ⇒ x = 9. 4 2 4 6 2](https://img.zadania.info/zad/1848583/HzadR15x.gif)
To oznacza, że boki trójkąta mają długości . To jednak nie jest możliwe, bo
![( ) 2 27- 2 2 2 + 18 ⁄= 24 .](https://img.zadania.info/zad/1848583/HzadR17x.gif)
![PIC](https://img.zadania.info/zad/1848583/HzadR18x.gif)