Zadanie nr 1956997
Dwusieczna kąta ostrego przecina przyprostokątną
trójkąta prostokątnego
w punkcie
.
Udowodnij, że jeżeli , to
.
Rozwiązanie
W trójkącie prostokątnym mamy
![1 sin ∡ACD = AD-- = -2CD- = 1. CD CD 2](https://img.zadania.info/zad/1956997/HzadR1x.gif)
Zatem oraz
![∘ ∡DCB = ∡ACD = 30 ∡ACB = 30∘ + 30∘ = 60 ∘ ∡ABC = 90∘ − ∡ACB = 90∘ − 60∘ = 30 ∘.](https://img.zadania.info/zad/1956997/HzadR3x.gif)
W szczególności
![∡DCB = ∡DBC ,](https://img.zadania.info/zad/1956997/HzadR4x.gif)
czyli trójkąt jest równoramienny i
.
Oczywiście zamiast używać funkcji trygonometrycznych mogliśmy też zauważyć, że trójkąt jest połówką trójkąta równobocznego.