Zadanie nr 2218229
Wykaż, że jeżeli pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest razy większe od pola trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny.
Rozwiązanie
Oznaczmy długości przyprostokątnych trójkąta przez i
, a długość przeciwprostokątnej przez
.
Zauważmy teraz, że okrąg o średnicy będącej przeciwprostokątną trójkąta to dokładnie okrąg opisany na trójkącie (bo kąt oparty na średnicy jest prosty). W takim razie promień tego okręgu to połowa przeciwprostokątnej i podaną informację o polach możemy zapisać w postaci
![( c)2 1 4 π ⋅ -- = π ⋅-ab / ⋅-- 2 2 2 π c = 2ab.](https://img.zadania.info/zad/2218229/HzadR4x.gif)
Na mocy twierdzenia Pitagorasa , więc mamy
![2 2 a + b = 2ab a2 − 2ab + b2 = 0 (a − b)2 = 0 .](https://img.zadania.info/zad/2218229/HzadR6x.gif)
Zatem rzeczywiście .