Zadanie nr 2218229
Wykaż, że jeżeli pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest razy większe od pola trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny.
Rozwiązanie
Oznaczmy długości przyprostokątnych trójkąta przez i
, a długość przeciwprostokątnej przez
.
Zauważmy teraz, że okrąg o średnicy będącej przeciwprostokątną trójkąta to dokładnie okrąg opisany na trójkącie (bo kąt oparty na średnicy jest prosty). W takim razie promień tego okręgu to połowa przeciwprostokątnej i podaną informację o polach możemy zapisać w postaci

Na mocy twierdzenia Pitagorasa , więc mamy

Zatem rzeczywiście .