Zadanie nr 2495968
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 3 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 9 razy dłuższy od drugiego.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Zauważmy, że trójkąty i
są podobne do trójkąta
(bo mają z tym trójkątem dwa kąty wspólne).
Sposób I
Korzystając z zauważonego podobieństwa mamy
![{ x-- AC- -a 1 1 AyD = AB = 3a = 3 ⇒ x = 3AD AD-= AABC-= 3aa = 3 ⇒ y = 3AD .](https://img.zadania.info/zad/2495968/HzadR4x.gif)
Stąd
![1- y = 3AD = 9 ⋅3AD = 9x .](https://img.zadania.info/zad/2495968/HzadR5x.gif)
Sposób II
Jeżeli oznaczymy , to
![AC 1 tgα = ----= -. AB 3](https://img.zadania.info/zad/2495968/HzadR7x.gif)
Patrzymy teraz na trójkąty i
.
![1 x 1 3-= tgα = AD-- ⇒ x = 3AD 1-= tgα = AD-- ⇒ y = 3AD . 3 y](https://img.zadania.info/zad/2495968/HzadR10x.gif)
Stąd
![y = 3AD = 9 ⋅ 1AD = 9x . 3](https://img.zadania.info/zad/2495968/HzadR11x.gif)