/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 2495968

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 3 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 9 razy dłuższy od drugiego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Zauważmy, że trójkąty DCA i DBA są podobne do trójkąta ABC (bo mają z tym trójkątem dwa kąty wspólne).

Sposób I

Korzystając z zauważonego podobieństwa mamy

{ x-- AC- -a 1 1 AyD = AB = 3a = 3 ⇒ x = 3AD AD-= AABC-= 3aa = 3 ⇒ y = 3AD .

Stąd

1- y = 3AD = 9 ⋅3AD = 9x .

Sposób II

Jeżeli oznaczymy α = ∡ABC , to

AC 1 tgα = ----= -. AB 3

Patrzymy teraz na trójkąty DCA i DBA .

1 x 1 3-= tgα = AD-- ⇒ x = 3AD 1-= tgα = AD-- ⇒ y = 3AD . 3 y

Stąd

y = 3AD = 9 ⋅ 1AD = 9x . 3
Wersja PDF