/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 3481043

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt MNP . Wykaż, że pole trójkąta MNP jest dwa razy większe od pola trójkąta ABC .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczamy przez a długość przyprostokątnej trójkąta ABC , to pole trójkąta ABC jest równe 12a2 i wystarczy udowodnić, że pole trójkąta MNP jest równe a2 . Ponadto niech K będzie środkiem przeciwprostokątnej BC trójkąta ABC .

PIC

Zauważmy, trójkąt MNP jest równoramienny, więc odcinek PA jest jego wysokością. Łatwo obliczyć jej długość:

√ -- PA = P K + AK = CK + KB = BC = a 2.

Podstawa MN trójkąta MNP ma długość równą przekątnej mniejszego z kwadratów, zatem

√ -- MN = a 2 .

Pole trójkąta MNP jest więc równe

1- 1- √ -- √ -- 2 2MN ⋅PA = 2 ⋅a 2⋅a 2 = a .
Wersja PDF