Zadanie nr 3481043
Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt
. Wykaż, że pole trójkąta
jest dwa razy większe od pola trójkąta
.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczamy przez długość przyprostokątnej trójkąta
, to pole trójkąta
jest równe
i wystarczy udowodnić, że pole trójkąta
jest równe
. Ponadto niech
będzie środkiem przeciwprostokątnej
trójkąta
.
Zauważmy, trójkąt jest równoramienny, więc odcinek
jest jego wysokością. Łatwo obliczyć jej długość:
![√ -- PA = P K + AK = CK + KB = BC = a 2.](https://img.zadania.info/zad/3481043/HzadR12x.gif)
Podstawa trójkąta
ma długość równą przekątnej mniejszego z kwadratów, zatem
![√ -- MN = a 2 .](https://img.zadania.info/zad/3481043/HzadR15x.gif)
Pole trójkąta jest więc równe
![1- 1- √ -- √ -- 2 2MN ⋅PA = 2 ⋅a 2⋅a 2 = a .](https://img.zadania.info/zad/3481043/HzadR17x.gif)