Zadanie nr 3481043
Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt . Wykaż, że pole trójkąta jest dwa razy większe od pola trójkąta .
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczamy przez długość przyprostokątnej trójkąta , to pole trójkąta jest równe i wystarczy udowodnić, że pole trójkąta jest równe . Ponadto niech będzie środkiem przeciwprostokątnej trójkąta .
Zauważmy, trójkąt jest równoramienny, więc odcinek jest jego wysokością. Łatwo obliczyć jej długość:
Podstawa trójkąta ma długość równą przekątnej mniejszego z kwadratów, zatem
Pole trójkąta jest więc równe