Zadanie nr 3833924

W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa 2√-3 3 . Wykaż, że iloczyn sinusów tych kątów jest równy .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli jest kątem ostrym trójkąta prostokątnego, to drugi kąt ostry ma miarę 90 ∘ − α . Mamy więc równanie

√ -- cos α+ cos(90∘ − α) = 2--3- 3 2√ 3- cos α+ sin α = ----- 3√ -- 2--3- sinα + co sα = 3 .

Podnieśmy tę ostatnią równość stronami do kwadratu.

2 2 4- sin α + cos α+ 2sinα cos α = 3 4 1 + 2 sin α cosα = -- 3 2 sin α cosα = 1- 3 1 sin α cosα = -. 6

Zauważmy teraz, że interesujący nas iloczyn sinusów jest równy

1 sin αsin(9 0∘ − α) = sinα ⋅cos α = --. 6

Sposób II

Oznaczmy długości przyprostokątnych trójkąta przez i , a długość przeciwprostokątnej przez .

Mamy zatem

√ -- 2--3- b- a- a+--b- 3 = co s∡A + co s∡B = c + c = c .

Podnosimy tę równość stronami do kwadratu (żeby skorzystać z twierdzenia Pitagorasa).

4 a2 + 2ab + b2 c2 + 2ab --= --------------= --------- 3 c2 c2 4- 2ab- 3 = 1+ c2 1 2ab --= --2- / : 2 3 c ab-= 1. c2 6

Teraz pozostało zauważyć, że

sin ∡A sin ∡B = a-⋅ b-= ab-= 1. c c c2 6