Zadanie nr 3833924
W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa . Wykaż, że iloczyn sinusów tych kątów jest równy
.
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli jest kątem ostrym trójkąta prostokątnego, to drugi kąt ostry ma miarę
. Mamy więc równanie
![√ -- cos α+ cos(90∘ − α) = 2--3- 3 2√ 3- cos α+ sin α = ----- 3√ -- 2--3- sinα + co sα = 3 .](https://img.zadania.info/zad/3833924/HzadR2x.gif)
Podnieśmy tę ostatnią równość stronami do kwadratu.
![2 2 4- sin α + cos α+ 2sinα cos α = 3 4 1 + 2 sin α cosα = -- 3 2 sin α cosα = 1- 3 1 sin α cosα = -. 6](https://img.zadania.info/zad/3833924/HzadR3x.gif)
Zauważmy teraz, że interesujący nas iloczyn sinusów jest równy
![1 sin αsin(9 0∘ − α) = sinα ⋅cos α = --. 6](https://img.zadania.info/zad/3833924/HzadR4x.gif)
Sposób II
Oznaczmy długości przyprostokątnych trójkąta przez i
, a długość przeciwprostokątnej przez
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/3833924/HzadR8x.gif)
Mamy zatem
![√ -- 2--3- b- a- a+--b- 3 = co s∡A + co s∡B = c + c = c .](https://img.zadania.info/zad/3833924/HzadR9x.gif)
Podnosimy tę równość stronami do kwadratu (żeby skorzystać z twierdzenia Pitagorasa).
![4 a2 + 2ab + b2 c2 + 2ab --= --------------= --------- 3 c2 c2 4- 2ab- 3 = 1+ c2 1 2ab --= --2- / : 2 3 c ab-= 1. c2 6](https://img.zadania.info/zad/3833924/HzadR10x.gif)
Teraz pozostało zauważyć, że
![sin ∡A sin ∡B = a-⋅ b-= ab-= 1. c c c2 6](https://img.zadania.info/zad/3833924/HzadR11x.gif)