Jeżeli przyprostokątne trójkąta to i
, a przeciwprostokątna
, to mamy
, bo średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest dokładnie przeciwprostokątna.
Sposób I
Promień okręgu wpisanego możemy wyliczyć ze wzoru na pole
Mamy zatem
Liczymy sumę średnic
Sposób II
Jeżeli połączymy środek okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
z jego wierzchołkami, to odcinki te dzielą kąty trójkąta na połowy. Jeżeli dorysujemy jeszcze rzuty punktu
na boki trójkąta, to mamy trzy pary przystających trójkątów prostokątnych. Oznaczając odpowiednio ich boki, widać, że