Zadanie nr 4330397
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie
Jeżeli przyprostokątne trójkąta to i
, a przeciwprostokątna
, to mamy
, bo średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest dokładnie przeciwprostokątna.
Sposób I
![PIC](https://img.zadania.info/zad/4330397/HzadR4x.gif)
Promień okręgu wpisanego możemy wyliczyć ze wzoru na pole
![1ab = P = 1-(a+ b+ c)r 2 2](https://img.zadania.info/zad/4330397/HzadR6x.gif)
Mamy zatem
![ab r = ---------. a + b + c](https://img.zadania.info/zad/4330397/HzadR7x.gif)
Liczymy sumę średnic
![2ab 2R + 2r = c + --------- = a + b + c ac+-bc-+-c2-+-2ab- ac-+-bc-+-a2 +-b2 +-2ab a + b + c = a + b + c = 2 c(a+-b-)+-(a-+-b)--= (a+--b)(c+--a+--b)= a + b. a + b + c a + b + c](https://img.zadania.info/zad/4330397/HzadR8x.gif)
Sposób II
![PIC](https://img.zadania.info/zad/4330397/HzadR9x.gif)
Jeżeli połączymy środek okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
z jego wierzchołkami, to odcinki te dzielą kąty trójkąta na połowy. Jeżeli dorysujemy jeszcze rzuty punktu
na boki trójkąta, to mamy trzy pary przystających trójkątów prostokątnych. Oznaczając odpowiednio ich boki, widać, że
![2R = c = (a − r) + (b − r) ⇒ 2R + 2r = a+ b.](https://img.zadania.info/zad/4330397/HzadR13x.gif)