Zadanie nr 4605280
W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa . Wykaż, że iloczyn cosinusów tych kątów jest równy
.
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli jest kątem ostrym trójkąta prostokątnego, to drugi kąt ostry ma miarę
. Mamy więc równanie

Podnieśmy tę ostatnią równość stronami do kwadratu.

Zauważmy teraz, że interesujący nas iloczyn cosinusów jest równy

Sposób II
Oznaczmy długości przyprostokątnych trójkąta przez i
, a długość przeciwprostokątnej przez
.

Mamy zatem

Podnosimy tę równość stronami do kwadratu (żeby skorzystać z twierdzenia Pitagorasa).

Teraz pozostało zauważyć, że
