Zadanie nr 4605280
W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa . Wykaż, że iloczyn cosinusów tych kątów jest równy
.
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli jest kątem ostrym trójkąta prostokątnego, to drugi kąt ostry ma miarę
. Mamy więc równanie
![∘ 3- sinα + sin(90 − α ) = 2 3 sinα + co sα = -. 2](https://img.zadania.info/zad/4605280/HzadR2x.gif)
Podnieśmy tę ostatnią równość stronami do kwadratu.
![2 2 9- sin α + cos α+ 2sinα cos α = 4 9 1 + 2 sin α cosα = -- 4 2 sin α cosα = 5- 4 5 sin α cosα = -. 8](https://img.zadania.info/zad/4605280/HzadR3x.gif)
Zauważmy teraz, że interesujący nas iloczyn cosinusów jest równy
![∘ 5- co sαc os(90 − α) = co sα ⋅sin α = 8.](https://img.zadania.info/zad/4605280/HzadR4x.gif)
Sposób II
Oznaczmy długości przyprostokątnych trójkąta przez i
, a długość przeciwprostokątnej przez
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/4605280/HzadR8x.gif)
Mamy zatem
![3-= sin∡A + sin ∡B = a+ b-= a+--b. 2 c c c](https://img.zadania.info/zad/4605280/HzadR9x.gif)
Podnosimy tę równość stronami do kwadratu (żeby skorzystać z twierdzenia Pitagorasa).
![9- a2 +-2ab-+-b2- c2 +-2ab- 4 = c2 = c2 9 2ab --= 1+ --2- 4 c 5-= 2ab- / : 2 4 c2 ab 5 -2-= -. c 8](https://img.zadania.info/zad/4605280/HzadR10x.gif)
Teraz pozostało zauważyć, że
![cos ∡A cos∡B = b-⋅ a-= ab-= 5. c c c2 8](https://img.zadania.info/zad/4605280/HzadR11x.gif)