Zadanie nr 4623086
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy dłuższy od drugiego.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Zauważmy, że trójkąty są podobne do trójkąta
(bo mają z tym trójkątem dwa kąty wspólne).
Sposób I
Korzystając z zauważonego podobieństwa mamy
![{ -x- AC- a- 1 1 ADy = AB = 4a = 4 ⇒ x = 4AD AD- = AABC-= 4aa = 4 ⇒ y = 4AD .](https://img.zadania.info/zad/4623086/HzadR3x.gif)
Stąd
![1- y = 4AD = 16 ⋅4AD = 16x .](https://img.zadania.info/zad/4623086/HzadR4x.gif)
Sposób II
Jeżeli oznaczymy , to
![AC 1 tgα = ----= -. AB 4](https://img.zadania.info/zad/4623086/HzadR6x.gif)
Patrzymy teraz na trójkąty i
.
![1 x 1 4-= tgα = AD-- ⇒ x = 4AD 1-= tgα = AD-- ⇒ y = 4AD . 4 y](https://img.zadania.info/zad/4623086/HzadR9x.gif)
Stąd
![y = 4AD = 16 ⋅ 1AD = 16x . 4](https://img.zadania.info/zad/4623086/HzadR10x.gif)