/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 4623086

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy dłuższa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy dłuższy od drugiego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Zauważmy, że trójkąty DCA ,DBA są podobne do trójkąta ABC (bo mają z tym trójkątem dwa kąty wspólne).

Sposób I

Korzystając z zauważonego podobieństwa mamy

{ -x- AC- a- 1 1 ADy = AB = 4a = 4 ⇒ x = 4AD AD- = AABC-= 4aa = 4 ⇒ y = 4AD .

Stąd

1- y = 4AD = 16 ⋅4AD = 16x .

Sposób II

Jeżeli oznaczymy α = ∡ABC , to

AC 1 tgα = ----= -. AB 4

Patrzymy teraz na trójkąty DCA i DBA .

1 x 1 4-= tgα = AD-- ⇒ x = 4AD 1-= tgα = AD-- ⇒ y = 4AD . 4 y

Stąd

y = 4AD = 16 ⋅ 1AD = 16x . 4
Wersja PDF