Zadanie nr 5067522
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości
, a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość
.
Wykaż, że jeżeli to
.
Rozwiązanie
Spróbujemy przekształcić daną równość tak, aby było to wyrażenie, w którym występują tylko funkcje trygonometryczne kąta .
Mamy
![a-= tg α ⇒ a = b tgα b h- b = sin α ⇒ h = bsinα .](https://img.zadania.info/zad/5067522/HzadR1x.gif)
Podstawiając to do danej równości mamy
![b2 = ah 2 2 b = b tgα ⋅b sin α / : b 1 = tg α sin α 2 1 = sin--α- / ⋅cosα cos α cosα = sin 2α = 1 − co s2α.](https://img.zadania.info/zad/5067522/HzadR2x.gif)
Jeżeli podstawimy teraz to mamy równanie kwadratowe
![t = 1 − t2 t2 + t − 1 = 0 Δ = 1+ 4 = 5 √ -- √ -- −-1-−---5- −-1+----5- t = 2 ∨ t = 2](https://img.zadania.info/zad/5067522/HzadR4x.gif)
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i dostajemy .