/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 5152037

Trójkąty ABC i CDE są prostokątne oraz |∡BAC | = |∡DCE | . Punkty A ,C i E leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i M są środkami odcinków AC ,CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że kąt ∡KML jest prosty.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki KM i ML .

PIC

Oznaczmy ∡BAC = ∡DCE = α i

∡BCA = ∡DEC = β = 90∘ − α.

Zauważmy, że odcinki AB i CD są do siebie równoległe. Odcinek KM łączy środki ramion w trapezie ACDB , więc jest równoległy do podstaw AB i CD . Zatem ∡MKL = α .

Podobnie, patrząc na odcinki BC i DE , uzasadniamy, że odcinek ML jest równoległy do BC i DE . Zatem ∡MLK = β = 90∘ − α .

To oznacza, że

∡KML = 180∘ − ∡MKL − ∡MLK = 180 ∘ − α − (9 0∘ − α) = 90∘

(trójkąt KML jest podobny do ABC i do CDE ).

Wersja PDF