/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 5934841

W trójkącie prostokątnym ABC , w którym kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym, poprowadzono środkowe AD i BE . Udowodnij, że ( ) 45 |AD |2 + |BE |2 = |AB |2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny.

PIC

Jeżeli oznaczymy BC = a i AC = b to z twierdzeń Pitagorasa w trójkątach BCE i ACD mamy

2 2 2 2 a2- AD = AC + CD = b + 4 b2 BE 2 = BC 2 + CE 2 = a2 + ---. 4

Dodajemy te równości stronami i mamy

5 5 5 AD 2 + BE 2 = --a2 + -b2 = -(a2 + b2). 4 4 4

Na mocy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC mamy więc

2 2 2 4 ( 2 2) AB = a + b = 5- AD + BE .
Wersja PDF