Zadanie nr 5934841
W trójkącie prostokątnym , w którym kąt przy wierzchołku
jest kątem prostym, poprowadzono środkowe
i
. Udowodnij, że
.
Rozwiązanie
Szkicujemy trójkąt prostokątny.
Jeżeli oznaczymy i
to z twierdzeń Pitagorasa w trójkątach
i
mamy
![2 2 2 2 a2- AD = AC + CD = b + 4 b2 BE 2 = BC 2 + CE 2 = a2 + ---. 4](https://img.zadania.info/zad/5934841/HzadR5x.gif)
Dodajemy te równości stronami i mamy
![5 5 5 AD 2 + BE 2 = --a2 + -b2 = -(a2 + b2). 4 4 4](https://img.zadania.info/zad/5934841/HzadR6x.gif)
Na mocy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie mamy więc
![2 2 2 4 ( 2 2) AB = a + b = 5- AD + BE .](https://img.zadania.info/zad/5934841/HzadR8x.gif)