Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5934841

W trójkącie prostokątnym ABC , w którym kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym, poprowadzono środkowe AD i BE . Udowodnij, że  ( ) 45 |AD |2 + |BE |2 = |AB |2 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt prostokątny.


PIC


Jeżeli oznaczymy BC = a i AC = b to pisząc twierdzenia Pitagorasa w trójkątach BCE i ACD mamy

 2 2 2 2 a2- AD = AC + CD = b + 4 b2 BE 2 = BC 2 + CE 2 = a2 + ---. 4

Dodajemy te równości stronami i mamy

 5 5 5 AD 2 + BE 2 = --a2 + -b2 = -(a2 + b2). 4 4 4

Na mocy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC mamy więc

 2 2 2 4 ( 2 2) AB = a + b = 5- AD + BE .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!