/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 6195246

Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadrat ABDE .


PIC


Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy k . Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa 12k .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy ∡BAC = α , ∡ABC = β , AB = c , BC = a i AC = b .


PIC


Informację o stosunku pól możemy zapisać w postaci

 1 k = -PABC--= 2-ab ⇒ ab = 2kc2. PABDE c2

Popatrzmy teraz na interesującą nas sumę tangensów

 a- b- a2 +-b2 c2- -c2-- 1-- tgα + tg β = b + a = ab = ab = 2kc2 = 2k.
Wersja PDF
spinner