Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Udowodnij..., 6776401

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 18194 zadania, 1079 zestawów, 35 poradników

cornersUpL

cornersUpR

random

Linki sponsorowane

cornersR

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 6776401

Przez środek $D$ przyprostokątnej $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej $AB$ . Prosta ta przecina proste $AB$ i $AC$ odpowiednio w punktach $M$ i $N$ . Wykaż, że skala podobieństwa trójkątów $ABC$ i $ANM$ jest równa $-2cosα- 1+cos2α$ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że trójkąty $BMD$ i $NCD$ są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku $D$ .

Ponadto

∡BDM = 90∘ − ∡MBD = 90∘ − ∡ABC = α.

Jeżeli oznaczymy $BD = CD = x$ to z trójkątów $BMD$ i $NCD$ mamy

MD -----= co sα ⇒ MD = x cosα BD DC-- --x-- DN = cos α ⇒ DN = co sα .

W takim razie skala podobieństwa trójkątów $ABC$ i $ANM$ jest równa

k = -BC--= -BD--+-DC-- = -----2x-------= -2-cos-α--. MN MD + DN xco sα + coxsα cos2α + 1

Wersja PDF

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Dodaj komentarz

Legalni bukmacherzy