Zadanie nr 6776401
Przez środek przyprostokątnej
trójkąta prostokątnego
poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej
. Prosta ta przecina proste
i
odpowiednio w punktach
i
. Wykaż, że skala podobieństwa trójkątów
i
jest równa
.
Rozwiązanie
Zauważmy, że trójkąty i
są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku
.
Ponadto
![∡BDM = 90∘ − ∡MBD = 90∘ − ∡ABC = α.](https://img.zadania.info/zad/6776401/HzadR4x.gif)
Jeżeli oznaczymy to z trójkątów
i
mamy
![MD -----= co sα ⇒ MD = x cosα BD DC-- --x-- DN = cos α ⇒ DN = co sα .](https://img.zadania.info/zad/6776401/HzadR8x.gif)
W takim razie skala podobieństwa trójkątów i
jest równa
![k = -BC--= -BD--+-DC-- = -----2x-------= -2-cos-α--. MN MD + DN xco sα + coxsα cos2α + 1](https://img.zadania.info/zad/6776401/HzadR11x.gif)