Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7634632

Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy wierzchołki trójkąta przez A,B ,C , a środki kwadratów przez K i L .


PIC


Sposób I

Dorysujmy odcinek AL i oznaczmy przez S i T punkty przecięcia przeciwprostokątnej z odcinkami KL i AL .

Zauważmy, że ∡KAC = 45∘ , czyli odcinek KA jest równoległy do CB . Odcinek AL jest prostopadły do przeciwprostokątnej BC , więc trójkąty ABT i TBL są prostokątne i równoramienne (ich kąt ostry ma miarę  ∘ 45 ). Zatem

AT = BT = TL.

Jak już zauważyliśmy, AK ∥ T S , więc na mocy twierdzenia Talesa

KS AT ---= ----= 1. SL T L

Sposób II

Dorysujmy jeszcze jeden kwadrat tak, jak na prawym obrazku i niech M będzie jego środkiem.

Zauważmy, że BL = AC = KM oraz każdy z tych odcinków jest prostopadły do AB . To oznacza, że odcinki BL i KM mają równe długości i są równoległe. Czworokąt BLMK jest więc równoległobokiem.

Zauważmy ponadto, że odcinki MC i BC są równoległe (bo każdy z nich tworzy z prostą AB kąt  ∘ 4 5 ). To oznacza, że BC zawiera się w przekątnej równoległoboku BLMK . Ponieważ przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, mamy KS = SL .

Sposób III

Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów.


PIC

Dorysujmy odcinki CK i CL oraz oznaczmy AB = a i ∡CSK = α . Zauważmy, że  ∘ ∘ ∘ ∡KCS = 45 + 45 = 90 oraz  ∘ ∡SCL = 45 . Ponadto

 √ -- CK = 1BC = a--2- 2 2 CL = a.

Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach CKS i CSL .

 √ -- ---SK-----= -CK-- ⇒ SK = a---2⋅ --1-- sin∡KCS sinα 2 sin α √ -- SL CL 2 1 ----------= -------∘------ ⇒ SL = a⋅ ---⋅ -----. sin∡SCL sin(180 − α) 2 sin α

Zatem rzeczywiście SK = SL .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!