Zadanie nr 7634632
Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.
Rozwiązanie
Oznaczmy wierzchołki trójkąta przez 
, a środki kwadratów przez 
i 
.
Sposób I
Dorysujmy odcinek 
i oznaczmy przez 
i 
punkty przecięcia przeciwprostokątnej z odcinkami 
i 
.
Zauważmy, że 
, czyli odcinek 
jest równoległy do 
. Odcinek 
jest prostopadły do przeciwprostokątnej 
, więc trójkąty 
i 
są prostokątne i równoramienne (ich kąt ostry ma miarę 
). Zatem
Jak już zauważyliśmy, 
, więc na mocy twierdzenia Talesa
Sposób II
Dorysujmy jeszcze jeden kwadrat tak, jak na prawym obrazku i niech 
będzie jego środkiem.
Zauważmy, że 
oraz każdy z tych odcinków jest prostopadły do 
. To oznacza, że odcinki 
i 
mają równe długości i są równoległe. Czworokąt 
jest więc równoległobokiem.
Zauważmy ponadto, że odcinki 
i 
są równoległe (bo każdy z nich tworzy z prostą 
kąt 
). To oznacza, że 
zawiera się w przekątnej równoległoboku 
. Ponieważ przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, mamy 
.
Sposób III
Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów.
Dorysujmy odcinki 
i 
oraz oznaczmy 
i 
. Zauważmy, że 
oraz 
. Ponadto
Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach 
i 
.
Zatem rzeczywiście 
.
