Zadanie nr 7634632
Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.
Rozwiązanie
Oznaczmy wierzchołki trójkąta przez , a środki kwadratów przez
i
.
Sposób I
Dorysujmy odcinek i oznaczmy przez
i
punkty przecięcia przeciwprostokątnej z odcinkami
i
.
Zauważmy, że , czyli odcinek
jest równoległy do
. Odcinek
jest prostopadły do przeciwprostokątnej
, więc trójkąty
i
są prostokątne i równoramienne (ich kąt ostry ma miarę
). Zatem
![AT = BT = TL.](https://img.zadania.info/zad/7634632/HzadR17x.gif)
Jak już zauważyliśmy, , więc na mocy twierdzenia Talesa
![KS AT ---= ----= 1. SL T L](https://img.zadania.info/zad/7634632/HzadR19x.gif)
Sposób II
Dorysujmy jeszcze jeden kwadrat tak, jak na prawym obrazku i niech będzie jego środkiem.
Zauważmy, że oraz każdy z tych odcinków jest prostopadły do
. To oznacza, że odcinki
i
mają równe długości i są równoległe. Czworokąt
jest więc równoległobokiem.
Zauważmy ponadto, że odcinki i
są równoległe (bo każdy z nich tworzy z prostą
kąt
). To oznacza, że
zawiera się w przekątnej równoległoboku
. Ponieważ przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, mamy
.
Sposób III
Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/7634632/HzadR33x.gif)
Dorysujmy odcinki i
oraz oznaczmy
i
. Zauważmy, że
oraz
. Ponadto
![√ -- CK = 1BC = a--2- 2 2 CL = a.](https://img.zadania.info/zad/7634632/HzadR40x.gif)
Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach i
.
![√ -- ---SK-----= -CK-- ⇒ SK = a---2⋅ --1-- sin∡KCS sinα 2 sin α √ -- SL CL 2 1 ----------= -------∘------ ⇒ SL = a⋅ ---⋅ -----. sin∡SCL sin(180 − α) 2 sin α](https://img.zadania.info/zad/7634632/HzadR43x.gif)
Zatem rzeczywiście .