/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 8759703

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości a i b . Punkt O leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że promień r tego okręgu jest równy aab+b- .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy drugi promień danego okręgu – łączący jego środek z punktem styczności z bokiem długości a .

PIC

Sposób I

Trójkąty prostokątne DBO i EOC są podobne (bo każdy z nich jest podobny do trójkąta ABC ), więc

OD-- = CE-- DB EO --r-- a−-r- b − r = r .

Stąd

r2 = (a− r)(b− r) = ab− ar− br + r2 ar+ br = ab -ab--- r(a+ b) = ab ⇒ r = a+ b .

Sposób II

Tym razem połączmy środek okręgu O z wierzchołkiem A kąta prostego.

PIC

Patrzymy teraz na dwa trójkąty: ABO i ACO .

PABC = PABO + PACO / ⋅ 2 ab = br+ ar --ab-- ab = r(a+ b) ⇒ r = a + b .
Wersja PDF