/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 8884005

Trójkąty ABC i CDE są równoramienne i prostokątne. Punkty A ,C i E leżą na jednej prostej, a punkty K ,L i M są środkami odcinków AC ,CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że |MK | = |ML | .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki MK i ML .

PIC

Sposób I

Zauważmy, że odcinki AB i CD są do siebie równoległe. Odcinek KM łączy środki ramion w trapezie ACDB , więc jest równoległy do podstaw AB i CD . Zatem ∡MKL = ∡BAC = 4 5∘ .

Podobnie, patrząc na odcinki BC i DE , uzasadniamy, że odcinek ML jest równoległy do BC i DE . Zatem ∘ ∡MLK = ∡DEC = β = 45 . To oznacza, że trójkąt KLM jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. W szczególności MK = ML .

Sposób II

Tak jak poprzednio zauważamy, że odcinki MK i ML łączą środki ramion w trapezach ACDB i CEDB . Ponieważ odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość równą średniej arytmetycznej długości podstaw, mamy

AB + CD CB + ED MK = ----2-----= ----2-----= ML .
Wersja PDF