Trójkąty ABC i CDE są równoramienne i prostokątne. Punkty A,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Udowodnij..., 8884005

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 8884005

Trójkąty $ABC$ i $CDE$ są równoramienne i prostokątne. Punkty $A ,C$ i $E$ leżą na jednej prostej, a punkty $K ,L$ i $M$ są środkami odcinków $AC ,CE$ i $BD$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $|MK | = |ML |$ .

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki $MK$ i $ML$ .

Sposób I

Zauważmy, że odcinki $AB$ i $CD$ są do siebie równoległe. Odcinek $KM$ łączy środki ramion w trapezie $ACDB$ , więc jest równoległy do podstaw $AB$ i $CD$ . Zatem $∡MKL = ∡BAC = 4 5∘$ .

Podobnie, patrząc na odcinki $BC$ i $DE$ , uzasadniamy, że odcinek $ML$ jest równoległy do $BC$ i $DE$ . Zatem $∘ ∡MLK = ∡DEC = β = 45$ . To oznacza, że trójkąt $KLM$ jest równoramiennym trójkątem prostokątnym. W szczególności $MK = ML$ .

Sposób II

Tak jak poprzednio zauważamy, że odcinki $MK$ i $ML$ łączą środki ramion w trapezach $ACDB$ i $CEDB$ . Ponieważ odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość równą średniej arytmetycznej długości podstaw, mamy