Zadanie nr 9086738
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym
. W trójkącie tym poprowadzono wysokość
. Wykaż, że
, gdzie
są odpowiednio długościami promieni okręgów wpisanych w trójkąty
i
.
Rozwiązanie
Skorzystamy ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
![r = a-+-b-−-c, 2](https://img.zadania.info/zad/9086738/HzadR0x.gif)
gdzie są przyprostokątnymi, a
jest przeciwprostokątną. Mamy zatem
![r = AC--+--BC-−--AB- 2 AD---+-DC--−-AC-- r1 = 2 CD + DB − CB r2 = ----------------. 2](https://img.zadania.info/zad/9086738/HzadR3x.gif)
Liczymy
![AC + BC − AB AD + DC − AC CD + DB − CB r+ r1 + r2 = ----------------+ -----------------+ ----------------= 2 2 2 = (AD--+-DB-)-−-AB--+-2DC---= DC . 2](https://img.zadania.info/zad/9086738/HzadR4x.gif)