Zadanie nr 9178905

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości i , a jego przeciwprostokątna ma długość . Wykaż, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r = a+b−c- 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Szkicujemy trójkąt.

Promień okręgu wpisanego możemy wyliczyć ze wzoru na pole

1 1 -ab = P = --(a+ b+ c)r 2 2

Mamy zatem

ab r = ---------. a + b + c

Pozostaje wykazać, że

ab a+ b− c a-+-b-+-c = ----2----

Przekształcamy w sposób równoważny

2ab = (a + b + c)(a + b − c) 2 2 2ab = (a + b) − c 2 2 2 2ab = a + b + 2ab − c 0 = a2 + b2 − c2.

Otrzymana równość jest oczywiście spełniona (jest to twierdzenie Pitagorasa).

Sposób II

Jeżeli połączymy środek okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ABC z jego wierzchołkami, to odcinki te dzielą kąty trójkąta na połowy. Jeżeli dorysujemy jeszcze rzuty punktu na boki trójkąta, to mamy trzy pary przystających trójkątów prostokątnych. Oznaczając odpowiednio ich boki, widać, że