Sposób I
Szkicujemy trójkąt.
Promień okręgu wpisanego możemy wyliczyć ze wzoru na pole
Mamy zatem
Pozostaje wykazać, że
Przekształcamy w sposób równoważny
Otrzymana równość jest oczywiście spełniona (jest to twierdzenie Pitagorasa).
Sposób II
Jeżeli połączymy środek okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
z jego wierzchołkami, to odcinki te dzielą kąty trójkąta na połowy. Jeżeli dorysujemy jeszcze rzuty punktu
na boki trójkąta, to mamy trzy pary przystających trójkątów prostokątnych. Oznaczając odpowiednio ich boki, widać, że
Sposób III
Dorysujmy okrąg wpisany i oznaczmy jego punkty styczności z bokami trójkąta przez . Mamy zatem