Zadanie nr 9233754
Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli na połowy kąt zawarty między środkową, a wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez kolejno: środkową, dwusieczną i wysokość trójkąta prostokątnego
.
Zauważmy, że okrąg o średnicy przechodzi przez punkt
(bo
). To oznacza, że środek
przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie
. W szczególności

W takim razie trójkąt jest równoramienny i

Ponadto

Zatem
