Zadanie nr 9233754
Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli na połowy kąt zawarty między środkową, a wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez kolejno: środkową, dwusieczną i wysokość trójkąta prostokątnego
.
Zauważmy, że okrąg o średnicy przechodzi przez punkt
(bo
). To oznacza, że środek
przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie
. W szczególności
![EC = EA .](https://img.zadania.info/zad/9233754/HzadR8x.gif)
W takim razie trójkąt jest równoramienny i
![∡ECA = ∡EAC = α.](https://img.zadania.info/zad/9233754/HzadR10x.gif)
Ponadto
![∡BCG = 90 ∘ − ∡B = ∡A = α.](https://img.zadania.info/zad/9233754/HzadR11x.gif)
Zatem
![∘ ∡F CG = ∡F CB − ∡BCG = 45 − α ∡F CE = ∡F CA − ∡ECA = 45 ∘ − α .](https://img.zadania.info/zad/9233754/HzadR12x.gif)