Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9233754

Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli na połowy kąt zawarty między środkową, a wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez CE ,CF ,CG kolejno: środkową, dwusieczną i wysokość trójkąta prostokątnego ABC .


PIC


Zauważmy, że okrąg o średnicy AB przechodzi przez punkt C (bo ∡C = 90∘ ). To oznacza, że środek E przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC . W szczególności

EC = EA .

W takim razie trójkąt AEC jest równoramienny i

∡ECA = ∡EAC = α.

Ponadto

∡BCG = 90 ∘ − ∡B = ∡A = α.

Zatem

 ∘ ∡F CG = ∡F CB − ∡BCG = 45 − α ∡F CE = ∡F CA − ∡ECA = 45 ∘ − α .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!