Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9786220

Wykaż, że jeżeli długości boków a,b,c trójkąta prostokątnego są liczbami całkowitymi, to liczba abc jest parzysta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Niech c będzie przeciwprostokątną danego trójkąta oraz załóżmy, że wszystkie trzy podane długości boków są liczbami nieparzystymi, tzn. a = 2n+ 1 , b = 2m + 1 , c = 2k + 1 dla pewnych liczb całkowitych k,n,m . Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy

 c2 = a2 + b2 2 2 2 (2k + 1) = (2n + 1 ) + (2m + 1) 4k2 + 4k + 1 = 4n 2 + 4n + 1+ 4m 2 + 4m + 1 4(k2 + k− n 2 − n− m2 − m ) = 1.

To jednak nie jest możliwe, bo lewa strona dzieli się przez 4, a prawa nie. W takim razie nie mogą wszystkie trzy liczby a,b,c być liczbami nieparzystymi, więc jedna z nich jest parzysta. To oznacza, że iloczyn abc jest liczbą parzystą.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!