/Szkoła podstawowa/Zadania testowe/Geometria/Trójkąty

Zadanie nr 1284196

Odcinek AD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC , w którym przeciwprostokątna BC ma długość 4 cm i kąt ostry ACB ma miarę 60∘ (zobacz rysunek).

PIC

Kąt BAD ma miarę A/B.
A) 30∘ B) 60∘
Odcinek AD ma długość C/D.
C) √ -- 2 3 D) √ -- 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że

∘ ∘ ∘ ∘ ∡ABC = 90 − ∡ACB = 90 − 60 = 30 .

Stąd

∘ ∘ ∘ ∘ ∡BAD = 90 − ∡ABC = 90 − 30 = 60 .

Długość odcinka AD obliczymy na dwa sposoby, ale zauważmy najpierw, że narysowany trójkąt ABC jest połówką trójkąta równobocznego o boku długości BC = 4 . W szczególności AC = 12BC = 2 .

Sposób I

Trójkąt prostokątny ADC jest połówką trójkąta równobocznego o boku długości AC = 2 . Zatem CD = 12AC = 1 i

∘ ------------ √ ------ √ -- AD = AC 2 − CD 2 = 4 − 1 = 3

(mogliśmy też skorzystać z gotowego wzoru √- h = a23- na wysokość w trójkącie równobocznym o boku a ).

Sposób II

Liczymy długość odcinka AB

------------ ------- ∘ 2 2 ∘ 2 2 √ ------- √ --- √ ---- √ -- AB = BC − AC = 4 − 2 = 1 6− 4 = 12 = 4 ⋅3 = 2 3.

Możemy teraz na dwa sposoby obliczyć pole trójkąta ABC

BC ⋅AD = 2PABC = AB ⋅AC 4AD = 2√ 3 ⋅2 / : 4 √ -- AD = 3.

 
Odpowiedź: B, D

Wersja PDF