/Szkoła podstawowa/Zadania testowe/Geometria/Trójkąty

Zadanie nr 2963247

Odcinek AD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC , w którym przyprostokątna AC ma długość 4 cm i kąt ostry ABC ma miarę 30∘ (zobacz rysunek).

PIC

Kąt CAD ma miarę A/B.
A) 30∘ B) 60∘
Odcinek AD ma długość C/D.
C) √ -- 2 3 D) √ -- 4 3

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że

∘ ∘ ∘ ∘ ∡ACB = 90 − ∡ABC = 90 − 30 = 60 .

Stąd

∘ ∘ ∘ ∘ ∡CAD = 90 − ∡ACD = 90 − 60 = 30 .

Długość odcinka AD obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Trójkąt prostokątny ADC jest połówką trójkąta równobocznego o boku długości AC = 4 . Zatem 1 CD = 2AC = 2 i

∘ ---2-------2 √ ------- √ --- √ ---- √ -- AD = AC − CD = 16 − 4 = 12 = 4⋅ 3 = 2 3

(mogliśmy też skorzystać z gotowego wzoru - a√3- h = 2 na wysokość w trójkącie równobocznym o boku a ).

Sposób II

Narysowany trójkąt ABC jest połówką trójkąta równobocznego o boku długości BC = 2AC = 8 . Odcinek AB ma więc długość

∘ ------------ ∘ ------- √ -------- √ --- √ ------ √ -- AB = BC 2 − AC 2 = 82 − 42 = 64 − 16 = 48 = 16 ⋅3 = 4 3.

Możemy teraz na dwa sposoby obliczyć pole trójkąta ABC

BC ⋅AD = 2P√ABC = AB ⋅AC 8AD = 4 3 ⋅4 / : 8 √ -- AD = 2 3.

 
Odpowiedź: A, C

Wersja PDF