Zadanie nr 8028432

W trójkącie ABC poprowadzono wysokości i . Odcinek ma taką samą długość , a kąt AF C ma miarę 115∘ (zobacz rysunek).

Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Trójkąt jest równoramienny.	P	F
Kąt ma miarę .	P	F

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy najpierw, że

∡CF D = 180∘ − ∡AF C = 180∘ − 11 5∘ = 65∘.

Trójkąt CF D jest prostokątny, więc

∡F CD = 90∘ − ∡CF D = 90∘ − 65∘ = 25∘ .

Wiemy też, że trójkąt ABC jest równoramienny, więc wysokość jest jednocześnie dwusieczną kąta przy wierzchołku . W takim razie

∡ACB = 2∡F CD = 2⋅ 25∘ = 50∘.

Patrzymy jeszcze na trójkąt prostokątny ADC

∡CAD = 90∘ − ∡ACB = 90∘ − 50∘ = 4 0∘.

To oznacza, że trójkąt prostokątny ADC nie jest równoramienny.

Sposób II

Zauważmy najpierw, że

∘ ∘ ∘ ∡AF E = 1 80 − 115 = 65 .

Trójkąt AEF jest prostokątny, więc

∡EAF = 90∘ − ∡AF E = 9 0∘ − 65∘ = 25∘.

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny ABD

∡ABD = 90∘ − ∡BAD = 90∘ − 25∘ = 65∘.

Wiemy też, że trójkąt ABC jest równoramienny, więc

∡BAC = ∡ABC = 65∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡ACB = 180 − ∡ABC − ∡BAC = 18 0 − 65 − 65 = 50 .

Patrzymy jeszcze na trójkąt prostokątny ADC

∡CAD = 90∘ − ∡ACB = 90∘ − 50∘ = 4 0∘.

To oznacza, że trójkąt prostokątny ADC nie jest równoramienny.
Odpowiedź: F, P