/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Romb w podstawie

Zadanie nr 3265689

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120∘ oraz |AS | = |CS | = 10 i |BS | = |DS | . Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Zauważmy, że z równości AS = CS i DS = BS wynika, że spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem wspólnym przekątnych rombu w podstawie. Interesujący nas kąt nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy jest więc kątem EBS .

Ponieważ przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych, wszystkie kąty trójkątów ABD i BCD są równe 60∘ , czyli są to trójkąty równoboczne. W takim razie

BE = 1-BD = 1-AB = 2. 2 2

Ponadto, odcinek AE jest wysokością w trójkącie równobocznym o boku 4, więc

√ -- 4--3- √ -- AE = 2 = 2 3.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AES otrzymujemy

∘ ------------ √ --------- √ --- √ --- SE = SA 2 − AE 2 = 100 − 12 = 8 8 = 2 22.

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie EBS .

∘ ----------- √ ------- √ --- √ --- BS = BE 2 + SE2 = 4+ 8 8 = 92 = 2 23.

Pozostało obliczyć sin α .

√ --- √ --- SE 2 22 22 sin α = ---= -√----= √----. BS 2 23 23

 
Odpowiedź: √ -- √-22 23

Wersja PDF