/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworokątny/Romb w podstawie

Zadanie nr 8111084

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD . Krawędź SC jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, krawędź AS ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘ . Krawędź SD ma długość 2√ 2- . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Patrzymy najpierw na trójkąt prostokątny ACS . Mamy w nim

√ -- √ -- √ -- AC-- = co s30∘ = --3- ⇒ AC = --3-⋅4 = 2 3 AS 2 2 -SC- ∘ 1- 1- AS = sin3 0 = 2 ⇒ SC = 2 ⋅4 = 2.

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny SDC .

∘ ----------- √ ------ √ -- DC = SD 2 − SC 2 = 8 − 4 = 4 = 2.

Dorysujmy drugą przekątną rombu.

PIC

Przekątne rombu są prostopadłe, więc z trójkąta prostokątnego DEC mamy

∘ ------------ √ ------ DE = DC 2 − EC 2 = 4− 3 = 1.

Obliczamy teraz pole rombu w podstawie – skorzystamy ze wzoru z przekątnymi.

1- 1- √ -- √ -- PABCD = 2 ⋅BD ⋅AC = 2 ⋅2 ⋅2 3 = 2 3.

Objętość ostrosłupa jest więc równa

√ -- 1- 1- √ -- 4--3- V = 3 PABCD ⋅SC = 3 ⋅2 3 ⋅2 = 3 .

 
Odpowiedź: √ - V = 4--3 3

Wersja PDF