/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Udowodnij

Zadanie nr 2130748

Dany jest prostokąt ABCD , którego boki mają długości x i y . Punkt S jest punktem przecięcia się przekątnych prostokąta.

PIC

  • Wykaż, że pole trójkąta ASD jest cztery razy mniejsze od pola prostokąta ABCD .
  • Wiedząc dodatkowo, że 2 P ΔASD = 15 cm i ∘ |∡ASD | = 30 , oblicz pole kwadratu, którego bok ma długość (x + y) .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Trójkąty ASD i ABD mają wspólną podstawę AD , a wysokość opuszczona na tę postawę w trójkącie ABD jest dwa razy dłuższa o wysokości opuszczonej w trójkącie ASD . Zatem
    1- PASD = 2 PABD .

    Trójkąt ABD jest jednak połową prostokąta, więc

    PASD = 1PABD = 1PABCD . 2 4
  • Zobaczmy co mamy wyliczyć
    2 2 2 (x + y) = x + y + 2xy .

    Iloczyn xy jest równy polu prostokąta, więc z poprzedniego podpunktu mamy

    xy = PABCD = 4PASD = 60.

    Z drugiej strony,

    2 2 2 x + y = BD ,

    więc pozostało nam wyliczyć długość przekątnej.

    PIC

    Jeżeli oznaczymy AS = DS = d , to ze wzoru na pole trójkąta z sinusem mamy

    1 d2 15 = PASD = -d ⋅d ⋅sin 30∘ = --- 2 4 60 = d2.

    Zamiast stosować wzór na pole trójkąta z sinusem, mogliśmy też zastosować wzór na pole równoległoboku z długościami przekątnych i sinusem.

    Mamy więc

    x2 + y2 = BD 2 = (2d)2 = 4d 2 = 240.

    Stąd

    2 2 2 (x + y ) = x + y + 2xy = 2 40+ 2⋅6 0 = 360.

     
    Odpowiedź: 360 cm 2

Wersja PDF