Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7305448

Dany jest prostokąt ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N . Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M , a środek S tego okręgu leży na odcinku MN , jak na rysunku.


PIC


Wykaż, że |MN | = |AD | .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Niech R będzie rzutem punktu N na bok AB , a P niech będzie rzutem S na przekątną BD .


PIC

Trójkąty P SN i RNB są prostokątne oraz mają wspólny kąt

∡RBN = 90∘ − ∡RNB = 90∘ − (180∘ − 90 ∘ − ∡SNP ) = ∡SNP .

Ponadto w obu trójkątach przyprostokątne leżące naprzeciw tych kątów mają tę samą długość r . To oznacza, że trójkąty P SN i RNB są przystające. W szczególności

NS = BN = BK = DM

(skorzystaliśmy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu B maję tę samą długość). Mamy zatem

MN = MS + SN = MA + DM = AD .

Sposób II

Tak samo jak poprzednio niech P będzie rzutem punktu S na przekątną BD . Zauważmy, że środek prostokąta jest środkiem symetrii danego rysunku, więc punkt P leży na prostej równoległej do CD i przechodzącej przez środek okręgu wpisanego w trójkąt BCD . Niech Q będzie rzutem punktu P na bok CD . Zauważmy, że trójkąty SNP i P DQ są prostokątne oraz mają wspólny kąt ostry

∡SNP = ∡P DQ .

Ponadto w obu trójkątach przyprostokątne leżące naprzeciw tych kątów mają tę samą długość r . To oznacza, że trójkąty SNP i PDQ są przystające. W szczególności

SN = DP = DM

(skorzystaliśmy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu D maję tę samą długość). Mamy zatem

MN = MS + SN = MA + DM = AD .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!