/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Udowodnij

Zadanie nr 7664285

Dany jest prostokąt ABCD . Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E , że |EC | = 2|DE | , a na boku |AB | wybrano taki punkt F , że |BF | = |DE | . Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą BC (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i F PB są przystające.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Odcinek FB jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie EP C (bo 1 F B = 2EC i FB ∥ EC ), więc BP = CB = DA . Ponadto

1 FB = --AB = DE , 3

więc trójkąty prostokątne AED i F PB mają przyprostokątne tej samej długości. Trójkąty te są więc przystające.

Sposób II

Niech K będzie środkiem odcinka AF .

PIC

W szczególności

1- 1- AK = 2 AF = 3 AB = DE ,

więc EK ∥ DA . To oznacza, że trójkąt AF E jest równoramienny (bo jego środkowa EK jest jednocześnie jego wysokością). W takim razie

∡P F B = ∡EF K = ∡EAK = ∡DEA .

To oznacza, że trójkąty prostokątne AED i FP B mają taki sam kąt ostry, więc są podobne. Ponadto F B = DE = 1AB 3 , więc są one przystające.

Wersja PDF