/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Udowodnij

Zadanie nr 8323118

Punkt P należy do okręgu opisanego na prostokącie ABCD . Wykaż, że |PA |2 + |P C|2 = |PB |2 + |P D|2 .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy przekątne prostokąta (a więc średnice okręgu).

PIC

Trójkąty P BD i AP C są prostokątne (bo kąt oparty na średnicy jest prosty). Zatem

PB 2 + P D 2 = BD 2 = AC 2 = PA 2 + PC 2.

Stąd

P B2 − PA 2 = P C2 − PD 2.
Wersja PDF