/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Udowodnij

Zadanie nr 9082929

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest prostokąt ABCD . Na boku CD tego prostokąta wybrano taki punkt E , że |EC | = 2|DE | , a na przedłużeniu boku CB wybrano taki punkt F , że |BF | = |BC | . Niech P oznacza punkt przecięcia prostej EF z prostą AB (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty AED i P FB są przystające.

PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Odcinek P B jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie EF C (bo BF = 12CF i PB ∥ EC ), więc PB = 12EC = DE . Ponadto

BF = BC = DA ,

więc trójkąty prostokątne AED i P FB mają przyprostokątne tej samej długości. Trójkąty te są więc przystające.

Sposób II

Niech K będzie rzutem punktu E na bok AB .

PIC

Trójkąty P FB i PEK mają równe kąty (bo oba są prostokątne i ∡F P B = ∡EP K ) oraz BF = BC = EK . To oznacza, że są przystające, czyli w szczególności

P B = KP ⇒ PB = 1-KB = 1EC = DE . 2 2

Wiemy ponadto, że BF = BC = DA , więc przyprostokątne trójkątów prostokątnych AED i PF B mają równe długości. Trójkąty te są więc przystające.

Wersja PDF