Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
Zauważmy, że trójkąty i
są podobne odpowiednio do
i
, czyli są równoramienne. Możemy założyć, że bok rombu ma długość 1 oraz oznaczmy
. Wtedy
Sposób I
Dorysujmy odcinki i
. Odcinki
i
są równoległe oraz mają tę samą długość. Czworokąt
jest więc równoległobokiem. W takim razie jego przekątne
i
dzielą się na połowy. To z kolei oznacza, że odcinek
przechodzi przez środek odcinka
, czyli przez punkt przecięcia przekątnych rombu
.
Sposób II
Niech będzie symetrią środkową względem punktu przecięcia przekątnych rombu. Symetria
przeprowadza punkty
na
i vice versa. Warunek
oznacza, że symetria
przeprowadza punkt
na
. To jednak oznacza, że środek symetrii
, czyli punkt przecięcia przekątnych rombu jest środkiem odcinka
.
Sposób III
Niech będzie punktem przecięcia przekątnych rombu.
Aby wykazać, że punkt leży na odcinku
wystarczy wykazać, że wektory
i
są równoległe. Oznaczmy
i
. Mamy więc