/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb/Udowodnij...

Zadanie nr 2483828

Na bokach AB , AD i BC rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty K ,L i M w ten sposób, że odcinki KL i KM są równoległe do przekątnych rombu. Wykaż, że odcinek LM przechodzi przez punkt przecięcia przekątnych rombu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Zauważmy, że trójkąty AKL i BKM są podobne odpowiednio do ABD i BAC , czyli są równoramienne. Możemy założyć, że bok rombu ma długość 1 oraz oznaczmy AK = x . Wtedy

DL = 1 − AL = 1 − AK = 1 − x CM = 1− BM = 1− BK = AK = x.

Sposób I

Dorysujmy odcinki DM i BL . Odcinki BM i LD są równoległe oraz mają tę samą długość. Czworokąt BMDL jest więc równoległobokiem. W takim razie jego przekątne LM i BD dzielą się na połowy. To z kolei oznacza, że odcinek LM przechodzi przez środek odcinka BD , czyli przez punkt przecięcia przekątnych rombu ABCD .

Sposób II

Niech S będzie symetrią środkową względem punktu przecięcia przekątnych rombu. Symetria S przeprowadza punkty A ,D na C ,B i vice versa. Warunek AL = CM oznacza, że symetria S przeprowadza punkt L na M . To jednak oznacza, że środek symetrii S , czyli punkt przecięcia przekątnych rombu jest środkiem odcinka LM .

Sposób III

Niech E będzie punktem przecięcia przekątnych rombu.

PIC

Aby wykazać, że punkt E leży na odcinku LM wystarczy wykazać, że wektory −→ LE i − → LM są równoległe. Oznaczmy −→ −→ AB = DC = →a i −→ −→ → AD = BC = b . Mamy więc

−→ −→ −→ −→ → → → → → LM = LA + AB + BM = −x ⋅ b + a + (1− x)⋅ b = (1 − 2x )b + a − → −→ −→ −→ 1 → → 1 → → LE = LA + AE = LA + --AC = −x ⋅b + -( a + b ) = 2 2 1- → → 1-−→ = 2((1 − 2x) b + a ) = 2 LM .
Wersja PDF