Zadanie nr 5766276
Na bokach 
i 
rombu 
wybrano punkty 
i 
w ten sposób, że 
i 
. Uzasadnij, że pole czworokąta 
stanowi połowę pola rombu.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez 
długość boku rombu oraz niech 
.
Po pierwsze zauważmy, że z równoległości 
wynika, że trójkąty 
i 
są podobne. W szczególności trójkąt 
jest równoramienny 
. Analogicznie uzasadniamy (patrząc na trójkąty 
i 
), że trójkąt 
jest równoramienny, 
. W takim razie
Sposób I
Czworokąt 
jest trapezem o podstawach 
i 
oraz wysokość 
równej wysokości rombu. Jego pole jest więc równe
Sposób II
Z warunku 
wynika, że prosta 
przechodzi przez środek symetrii 
rombu (czyli przez punkt przecięcia się przekątnych). W szczególności w symetrii środkowej względem punktu 
punkty 
i 
zamieniają się miejscami, czyli czworokąt 
przechodzi na czworokąt 
. To oznacza, że te dwa czworokąty mają równe pola, więc pole każdego z nich musi stanowić połowę pola rombu.
