Zadanie nr 7218513
Przekątne rombu 
przecinają się w punkcie 
. Punkt 
jest takim punktem boku 
, że odcinek 
jest wysokością rombu (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli trójkąty 
i 
są przystające, to punkt 
jest środkiem odcinka 
.
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że trójkąty 
i 
są podobne. Rzeczywiście, oba są prostokątne (bo przekątne rombu są prostopadłe) oraz mają taki sam kąt ostry
(bo przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych). Jeżeli trójkąty te są przystające, to ich przeciwprostokątne mają tę samą długość, więc
a to oznacza, że trójkąt 
jest równoboczny. Równoboczny jest więc też trójkąt 
, więc jego wysokość 
jest jednocześnie symetralną odcinka 
. To dowodzi, że 
jest środkiem odcinka 
.
