/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb/Udowodnij...

Zadanie nr 8313648

Kąt ostry rombu ABCD ma miarę  ∘ 60 . Na bokach AB i AD tego rombu  wybrano punkty – odpowiednio – E i F takie, że |BE | = |AF | = 13|AB | . Odcinki BF i DE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że punkt P leży na okręgu opisanym na trójkącie BCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zadanie sprowadza się do wykazania, że na czworokącie BCDP można opisać okrąg. Ponadto, wiemy, że ∡BCD = ∡BAD = 60∘ , więc wystarczy udowodnić, że ∡BP D = 120∘ .

Trójkąt ABD jest równoboczny (bo AB = AD i ∡BAD = 60∘ ), więc trójkąty ABF i BDE mają dwa takie same boki i kąt o mierze

 ∘ ∡BAF = ∡DBE = 60

między tymi bokami.


PIC


Są więc przystające i

∡AF B = ∡DEB .

To zaś oznacza, że trójkąty ABF i BP E mają dwa takie same kąty, czyli są podobne. Stąd

 ∘ ∡BP E = ∡BAF = 60 ∡BP D = 180 ∘ − ∡BP E = 180∘ − 60∘ = 120∘.

Zatem rzeczywiście

∡BP D + ∡BCD = 1 80∘

i na czworokącie BCDP można opisać okrąg.

Wersja PDF
spinner