Zadanie nr 8313648
Kąt ostry rombu ma miarę . Na bokach i tego rombu wybrano punkty – odpowiednio – i takie, że . Odcinki i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).
Wykaż, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie .
Rozwiązanie
Zadanie sprowadza się do wykazania, że na czworokącie można opisać okrąg. Ponadto, wiemy, że , więc wystarczy udowodnić, że .
Trójkąt jest równoboczny (bo i ), więc trójkąty i mają dwa takie same boki i kąt o mierze
między tymi bokami.
Są więc przystające i
To zaś oznacza, że trójkąty i mają dwa takie same kąty, czyli są podobne. Stąd
Zatem rzeczywiście
i na czworokącie można opisać okrąg.