Zadanie nr 3306780

Pan Kowalski zaciągnął w banku kredyt w wysokości 40000 zł. Oprocentowanie kredytu wynosi 12% w skali roku, a odsetki są dopisywane kwartalnie. Kredyt ma zostać spłacony w czterech równych ratach kwartalnych (spłacanych na koniec każdego kwartału). Wyznacz wysokość raty.

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy szukaną wysokość każdej z rat przez . W takim razie po pierwszym kwartale zadłużenie Pana Kowalskiego wynosi

( ) 40000 ⋅ 1+ 0,12- = 4 0000 ⋅1,03 4

i złotych z tej kwoty zostaje spłacone.

Po drugim kwartale zadłużenie wynosi

(4000 0⋅1,0 3− x )⋅1,0 3 = 40000 ⋅1,03 2 − 1,0 3x

i znowu z tej kwoty zostanie spłacone.

Po trzecim kwartale zadłużenie wynosi

2 3 2 (40000 ⋅1,03 − 1,03x − x )⋅1,0 3 = 40000 ⋅1,03 − 1,0 3 x− 1,03x

i znowu z tej kwoty zostanie spłacone.

Wreszcie na koniec roku pozostanie zadłużenie

3 2 4 3 2 (40000 ⋅1,03 − 1,03 x − 1,03x − x) ⋅1,03 = 40 000⋅1,0 3 − 1,03 x− 1,0 3 x− 1 ,

i musi być równe wysokości ostatniej raty. Daje to nam równanie

40000 ⋅1,03 4 − 1,03 3x− 1,032x − 1,03x = x 4 3 2 40000 ⋅1,03 = x(1,03 + 1,03 + 1,03 + 1).

Możemy obie strony policzyć na kalkulatorze, ale możemy też zauważyć, że w nawiasie mamy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, czyli

4 1,034-−-1- 400 00⋅1 ,03 = x ⋅ 1,03− 1 4 4-0000-⋅1,03-⋅-0,03 = x ⇒ x ≈ 10 761,08. 1,034 − 1

Sposób II

Jak poprzednio, niech będzie szukaną wysokością raty. Tym razem będziemy jednak liczyć jaką część wyjściowej kwoty kredytu spłacamy w kolejnych ratach.

W pierwszej racie spłacamy złotych, ale ponieważ zostały dopisane odsetki w wysokości 12%- 4 = 3% więc to złotych spłaca tylko

-x--- 1,03

oryginalnego zadłużenia (jak pomnożymy tę liczbę przez przyrost odsetek 1,03 to otrzymamy ratę w wysokości ).

Podobnie w drugiej racie, spłacamy tylko

x -----2 1,0 3

oryginalnego zadłużenia (bo kwota, którą spłacamy po kapitalizacji, czyli pomnożeniu przez 2 (1,03) , ma dać ). W trzeciej i czwartej racie spłacamy odpowiednio 1,x033 i 1x,034 pierwotnego zadłużenia.