/Szkoła średnia/Zadania z treścią/Procenty

Zadanie nr 9376905

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyprowadź wzór Kqn(q−1) R = qn−1 na wysokość raty R kredytu udzielonego w kwocie K , przy założeniu, że:
– spłata tego kredytu jest rozłożona na n równych rat płaconych miesięcznie;
– pierwszą ratę wpłacamy po miesiącu od daty udzielenia kredytu;
– roczne oprocentowanie kredytu jest równe r i r- q = 1+ 12 .

Rozwiązanie

Cała trudność w ustaleniu wysokości raty kredytu polega na tym, że spłacając kredyt zmniejszamy kwotę, od której są naliczane odsetki, więc w każdej racie stosunek wartości odsetek do spłacanego kapitału jest inny (dokładniej: robi się coraz mniejszy).

Aby łatwo ominąć ten problem zastosujemy podstawową zasadę matematyki finansowej: spróbujemy wszystkie raty i zobowiązania sprowadzić do jednego punktu w czasie – powiedzmy do momentu spłaty kredytu (czyli daty płatności ostatniej raty).

Zauważmy najpierw, że jeżeli wpłacamy do banku R złotych, to po jednym miesiącu wartość tych pieniędzy urośnie do

-r- ( r-) R + 12 ⋅R = 1 + 12 R = R ⋅q.

Po kolejnym miesiącu wartość wzrośnie do

( ) Rq + -r-⋅Rq = 1 + r-- Rq = R ⋅q2. 12 12

itd. W takim razie w momencie wpłaty ostatniej raty kredytu wpłacone przez nas raty będą miały wartość (liczymy od końca, czyli od ostatniej wpłaconej raty)

n R + Rq + Rq2 + ⋅⋅⋅+ Rqn −1 = R (1+ q+ ⋅⋅⋅+ qn− 1) = R ⋅ q-−-1-. q− 1

Z drugiej strony nasze zobowiązanie zaciągnięte od banku będzie w tym momencie miało wartość

K ⋅qn

(przesuwamy to zobowiązanie o n okresów w przyszłość). Mamy więc równanie

qn −-1- n n q-−-1-- R ⋅ q − 1 = K ⋅q ⇒ R = K ⋅q ⋅ qn − 1.
Wersja PDF