Zadanie nr 3313795
Udowodnij, że różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych nie jest liczbą podzielną przez 5.
Rozwiązanie
Dwie kolejne liczby całkowite możemy oznaczyć przez , , dla pewnej liczby całkowitej . Różnica sześcianów tych liczb jest równa
(lub minus to wyrażenie jeżeli odejmiemy te liczby w odwrotnej kolejności). Wystarczy zatem udowodnić, że otrzymane wyrażenie nigdy nie dzieli się przez 5. Aby to uzasadnić, rozważamy pięć przypadków w zależności od reszty z dzielenia liczby przez 5. Zanim jednak przejdziemy do tych przypadków, oznaczmy . Wtedy
Wystarczy zatem sprawdzić, że dla wyrażenie w drugim nawiasie nie dzieli się przez 5. Liczymy